Donde se habla de Gottfried Wilhelm von Leibniz, uno de los filósofos clásicos más estudiados y admirados por el autor: «Leibniz, como Marx, tiene el encanto de la oscuridad de lo que nace, de las promesas que nunca se podrán cumplir…»

Manuel Sacristán Luzón

Edición de Salvador López Arnal y José Sarrión

Estimados lectores, queridos amigos y amigas:

Seguimos con la serie de materiales de Manuel Sacristán Luzón (1925-1985) que estamos publicando en Espai Marx todos los viernes a lo largo de 2025, el año del primer centenario de su nacimiento (también de los 40 años de su prematuro fallecimiento). En esta ocasión, sus escritos sobre Leibniz.

Los materiales ya publicados, los futuros y las cuatro entradas de presentación pueden encontrarse pulsando la etiqueta «Centenario Sacristán» –https://espai-marx.net/?tag=– que se encuentra además debajo de cada título de nuestras entradas.

Nuevo libro de Ariel Petruccelli: Ecomunismo. Defender la vida: destruir el sistema, Buenos Aires: Ediciones IPS, 2025. «…Recogeré unas cuantas botellas lanzadas al mar por dos de los pensadores más formidables que yo haya podido leer, y que significativamente se cuentan entre los menos frecuentados: Manuel Sacristán y Bernard Charbonneau.»

La revista Realitat ha publicado un número especial dedicado a Sacristán con artículos del propio Sacristán y de Víctor Ríos, Miguel Manzanera, José Sarrión, Lucía Aliagas Picazo, Enric Tello, José Luis Gordillo, Joan Pallissé, Jordi Mir y otros autores y autoras. https://www.realitat.cat/monografics/centenari-manuel-sacristan/.

Un enlace que nos permite escuchar la interesante mesa redonda del pasado 12 de marzo en la Universidad Autónoma de Madrid. https://dauam-my.sharepoint.

Sobre la representación de El pasillo en México, una nota de Miguel Manzanera: «Os reenvío el enlace para visualizar la grabación de El pasillo. Esta representación se hizo en el Aula Magna de la UACM, una sala no muy grande pero llena de público, que aplaudió con entusiasmo el trabajo de la compañía “Coincidir Teatro” dirigida por Maxi Pelayo. En mi opinión, una excelente representación, que se repetirá en nuevos escenarios mexicanos, según me manifestó la directoria. Sería bueno que este grupo de actores pudiera representar la obra en Barcelona. Saludos cordiales.»

https://drive.google.com/file/d/1qRik_sDaqhI56SBMIUbMTMbWVy1viJbg/view?ts=67f14ed4.

Próximas actividades:

1. Programa de un acto organizado por la FIM (con el apoyo del CSIC (The Age of Glass)) el próximo 5 de mayo:

En el marco del «Año Sacristán», la Fundación de Investigaciones Marxistas (FIM) organiza la jornada «La Universidad en el pensamiento de Manuel Sacristán y Paco Fernández Buey», que se celebrará el lunes 5 de mayo de 2025 en la Biblioteca Marqués de Valdecilla –UCM (Calle Noviciado 3, Madrid). El evento abordará la crisis de la universidad contemporánea, la mercantilización del conocimiento y las reflexiones de Sacristán y Fernández Buey sobre el papel de la institución académica en la sociedad.

La FIM se adhiere de esta manera a la conmemoración del centenario de Manuel Sacristán (1925-1985), y lo hace conectando su pensamiento con la lucha actual en defensa de la Universidad Pública. Filósofo, traductor y militante comunista, Sacristán defendió el socialismo y la democracia y la justicia social, y desde los años 70 integró la cuestión ecológica en su pensamiento. Su enfoque crítico e innovador del marxismo, basado en la racionalidad científica y el compromiso social, dejó aportes esenciales en lógica, filosofía de la ciencia y ecología política. Como traductor de Marx, Engels, Lukács y Gramsci, facilitó el acceso a textos fundamentales para la transformación social.

Más allá de la teoría, su militancia comunista fue clave en la resistencia antifranquista, siendo esencial en la creación del Sindicato Democrático de Estudiantes de la Universidad de Barcelona (SDEUB) y, más adelante, en la fundación de las Comisiones Obreras de la Enseñanza. También destacó en el Comité Antinuclear de Cataluña y en la lucha contra la permanencia de España en la OTAN. En el «Año Sacristán», la FIM apoya las iniciativas de homenaje y difusión de su obra, como herramienta de análisis y transformación social.

En este contexto, resulta imprescindible destacar también la figura de Paco Fernández Buey (1943-2012), eminente discípulo de Sacristán y filósofo con voz propia. Fernández Buey fue también uno de los fundadores del Sindicato Democrático de la Universidad de Barcelona en 1966 y se destacó como miembro de la Coordinadora del movimiento de Profesores No Numerarios (PNN) en los setenta. Tras la muerte de Franco, contribuyó activamente a la creación y consolidación de las Comisiones Obreras de la Enseñanza y, en los ‘90, integró el Consejo de Coordinación Universitaria a propuesta de Izquierda Unida. Su labor como catedrático de filosofía política en la Universidad Pompeu Fabra, donde también coordinó el Centro para el Estudio de los Movimientos Sociales (CEMS), enriquece y complementa el legado de Sacristán y ofrece una visión crítica sobre la Universidad.

La jornada del 5 de mayo se estructurará en dos mesas de debate. En la primera, «La universidad según Sacristán y Fernández Buey», se revisará la concepción de la universidad en el pensamiento de ambos autores, abordando su función dentro de la sociedad y su papel en la formación de una ciudadanía crítica. Se debatirá si la democracia supuso realmente la solución a los problemas universitarios o si, por el contrario, se han reproducido nuevas formas de subordinación y mercantilización del saber. En la segunda mesa, «Diagnóstico de una universidad en crisis», se analizarán cuestiones como la privatización, la creciente subordinación a intereses económicos y la precarización de la labor docente e investigadora y se debatirán posibles soluciones para rescatar la función emancipadora del conocimiento.

PROGRAMA

Apertura 15:15 – 15:30.

Mesa 1. La universidad según Sacristán y FFB.

15:30–17:15 (15 min c/u + 45 min discusión). Modera: Alicia Durán (Profesora de Investigación del CSIC)

Jordi Mir Garcia. Profesor asociado Departament d’Humanitats – Universidad Pompeu Fabra

José Sarrión. Profesor Permanente Laboral (PPL). Universidad de Salamanca.

Eddy Sánchez. Profesor de Geografía Política de la UCM. Presidente de la FIM

Ana Jorge. Profesora en el Departamento de Comunicación Audiovisual y Publicidad de la Facultad de Ciencias de la Comunicación. Universidad de Málaga

Café: 17:15 -17:30

Mesa 2. Diagnóstico de una Universidad en crisis

17:30-19:15 (12 min c/u + 45 min discusión). Modera: Paco Marcellán (Profesor emérito honorifico, UC3M.)

Paco Sierra, Catedrático Universidad de Sevilla. Portavoz de Universidades. IU

Victor Rocafort, Profesor Teoría Política, UCM.

Cristina Rodriguez, Presidenta de Federación de Jóvenes Investigadores Precarios (FJI)

Paloma López, Secretaria General de CCOO-Madrid

Aída Maside. Colectivo Estudiantil Alternativo (CEA), Universidad de Salamanca.

Conclusiones 19:30-20:00: José Sarrión (USAL) y Eddy Sánchez (UCM)

Para conseguir un debate ágil y rico contaremos con una Fila CERO, con invitados que esperamos intervengan activamente en el debate.»

2. Sábado, 17 de mayo. «Manuel Sacristán, militante comunista». Espacio Fort Pienc, 11-14 h, Barcelona. Intervienen: José Sarrión, «Manuel Sacristán y la política comunista»; Giaime Pala, «La política cultural del PSUC»; José Luis Martín Ramos, «Sacristán y el movimiento universitario»; Zaida Linares, «La cuestión femenina». Presenta: Eduard Navarro. Organiza: PSUC-viu.

3. Martes, 27 de mayo, Aula 14.0.9 Campus de Getafe. UC3M

Ignacio Perrotini (UNAM), 9:30-11:00: «Manuel Sacristán en México. Explorando una época desconocida.»

Jorge Riechmann (UAM), 11:00-12.00: «Manuel Sacristán: ecosocialismo para el Siglo de la Gran Prueba.»

Gonzalo Gallardo (UAM), 12:15-13:15: «Autocrítica del leninismo y crítica del eurocomunismo: la evolución política de Sacristán a partir de 1968».

Alicia Durán (CSIC), 13:15-14:15: «Ciencia y Universidad en el mundo de Manuel Sacristán». https://meet.jit.si/MSacristan

4. Simposio sobre Manuel Sacristán en Barcelona. Organizadores: Càtedra Ferrater Mora (Universitat de Girona) en coorganización con el Memorial Democrático de la Generalitat de Catalunya y en colaboración con la Fundación Neus Català. Fechas: miércoles 26 (tarde), jueves 27 (mañana y tarde) y viernes 28 de noviembre (mañana y tarde) en el Ateneu Barcelonès (Barcelona).

Izquierda Unida ha publicado un comunicado de apoyo a los actos del centenario: «Manuel Sacristán (1925-2025): «100 años de pensamiento crítico y lucha por un mundo ecosocialista. Izquierda Unida impulsa el ‘Año Sacristán’: Reivindicando al filósofo, traductor y militante que unió marxismo, ecología y feminismo ante la crisis global». https://izquierdaunida.org/2025/02/20/manuel-sacristan-1925-2025-100-anos-de-pensamiento-critico-y-lucha-por-un-mundo-ecosocialista/.

Otros comunicados de apoyo: 1. Resolución de los Comunistes de Catalunya https://comunistes.cat/ 2. Fundación de Investigaciones Marxistas (FIM): ttps://www.fim.org.es/ 3. Resolución de la Juventud Comunista (UJCE): https://www.juventudes.org/centenario-manuel-sacristan/.

En el mientrastanto.e de marzo se publicó un artículo de Alfons Barceló que con seguridad será de su interés: «Noticia y recuerdo de Manuel Sacristán» (https://mientrastanto.org/243/ensayo/noticia-y-recuerdo-de-manuel-sacristan/.)

En rebelión (y otras páginas), Miguel Manzanera ha publicado «Conmemoración del centenario de Manuel Sacristán Luzón en México» https://rebelion.org/conmemoracion-del-centenario-de-manuel-sacristan-luzon-en-mexico/

Buena semana, muchas gracias.

INDICE

1. Presentación (1).
2. Sobre el «Calculus universalis» de Leibniz en los Manuscritos nº^s 1 – 3 de abril de 1679
3. Presentación (2)
4. El principio de la identidad de los indiscernibles en Leibniz
5. Leibniz y el ideal algorítmico
6. Anotaciones de lectura sobre The Philosophy of Leibniz
7. Consideraciones generales

1. Presentación

«Sobre el Calculus universalis de Leibniz en los manuscritos 1-3 de abril de 1679» fue redactado en 1960, según observa Juan-Ramón Capella en su bibliografía de Sacristán, para la participación en las oposiciones de cátedra de lógica la Facultad de Filosofía de la Universidad de Valencia celebradas en Madrid en 1962.

En la portada del ejemplar personal de Sacristán, comentaba Albert Domingo en su edición del texto en Lecturas de filosofía moderna y contemporánea (Madrid: Trotta, 2007, pp. 159-176), «junto a las reglamentarias dos pólizas de peseta y el sello del Registro General de entrada del Ministerio de Educación Nacional, con fecha de febrero de ese año [1962], aparece mecanografiado lo siguiente: «Trabajo escrito expresamente para tomar parte en la oposición a la cátedra de Lógica de la Universidad de Valencia por el opositor Manuel Sacristán Luzón». La expresión “Lógica” está subrayada en rojo y el nombre completo del opositor en azul.»

En carta de 1959 a Juan Carlos García Borrón, comentaba Sacristán:

Vale la pena añadir –o acaso no la valga, dado tu conocimiento de mi carácter– que no pienso que esa cátedra [la de Lógica en Valencia] la pueda ganar alguien que viva tan en off-side como vivo yo (…) Pero, si no la cátedra, sí busco con mucho interés otras dos cosas: primera, terminar con mi falta de presencia en toda oposición; segunda, hacer unos ejercicios decentes que den armas en Barcelona a los miembros de la Sección que –con la oposición de otros– querían encargarme la Lógica, aquí Cátedra no cubierta ni dotada. Preparo un artículo «Sobre el espíritu de los algoritmos lógico-aritméticos en Leibniz». Tema y tiempo no me darán más que para 25/30 folios. Espero en cambio que tenga interés y rigor.

La mayor parte de la Memoria de oposiciones de Sacristán está recogida en «Apuntes de filosofía de la lógica», Papeles de filosofía, pp. 220-283. No así sus palabras iniciales:

La mayoría de los tratados de lógica ilustran sobre la naturaleza de esta disciplina diciendo que estudia «la forma del pensamiento», o «la forma del conocimiento», o arbitrando cualquier otra expresión semejante.

No sería justo negar todo valor a indicaciones de ese tipo. Pero tampoco lo sería el considerar las definiciones. Ante todo, porque esas aclaraciones conciben la lógica un tanto adjetivamente, como disciplina en el fondo auxiliar y desde el punto de vista de otra teoría; de la psicología y de la gnoseología respectivamente. Y ocurre que la lógica formal alcanzó ya hace muchos siglos una sustantividad, una independencia ejemplar, de la que es imposible dar seria razón considerándola oblícuamente, desde las perspectivas de otras teorías.

Pero hay más: aunque sin duda abran camino a un cierto estudio del pensamiento o del conocimiento, las posiciones de la lógica aluden claramente a una especial objetividad. Se habla, por ejemplo, de «verdades lógicas», de «relaciones lógicas», y algún autor llega a hablar más o menos metafóricamente de «lugares» y «espacio» lógicos. Todo ello indica que esas proposiciones, aunque de algún modo pueden ser comprendidas como teoría de la forma del pensamiento o del conocimiento, son propiamente proposiciones sobre una determinada onticidad: la tradición la llama ens logicum, y la teoría de este constituye el nervio de su doctrina del concepto de la lógica, o lógica proemial.

El ente lógico no es sin embargo un ente real. El uso de las mismas expresiones –«verdad lógica», «espacio lógico», etc.– que hemos aducido antes como registro de esa onticidad, prueba que el ente lógico es un ens rationis: una verdad lógica no es nunca una situación real como tal, ni una relación lógica es sin más y como tal una relación concreta entre cosas.

El ente lógico es una gran medida artefactum, o, más propiamente, sólo es estudiable cuando se manifiesta como artefacto. Ahora bien: la lógica tiene un desarrollo histórico que arroja a grandes rasgos un progresivo perfeccionamiento y enriquecimiento de sus medios técnicos, de su capacidad de construir artefactos, progreso paralelo –también en líneas generales– de una asombrosa pérdida de vigor teorético, de profundidad filosófica, la cual se transparenta en el creciente anquilosamiento de la lógica proemial. Entre los instrumentos lógicos de que dispone un autor como Juan de Santo Tomás y aquellos con que cuenta cualquier especialista contemporáneo hay un verdadero abismo en favor de este último; el mismo abismo existe entre las concepciones proemiales de ambos, pero en este punto el abismo favorece al primero.

Mas, como queda indicado, una investigación proemial debería partir siempre del estado más avanzado alcanzado por la elaboración técnica del ente lógico, por el artefacto lógico. La tarea de fecundar recíprocamente el legado proemial de la tradición y los progresos realizados por la técnica lógica en el siglo XX es una de las más importantes –y sin duda la de más alcance filosófico– en la lógica contemporánea. Esa tarea se propone el presente escrito en los capítulos 1º, 2º y 3º de su primera parte y en el contexto de un estudio del ente lógico. Una discusión del concepto de la ciencia lógica tiene que ser forzosamente posterior y dependiente de dicho estudio. Por eso se le destina el capítulo 4º de esta primera parte.

En la primera nota al pie de página de la edición de su memoria de oposiciones en Papeles de filosofía, observaba Sacristán: «Estos Apuntes son de 1962-1963. El Journal of Philosophical Logic empezó a publicarse en febrero de 1973, El Journal deja anticuadas varias afirmaciones críticas de estos Apuntes.»

Las traducciones de los textos latimos de los escritos de Sacristán están en el generoso haber de su amigo y discípulo Miguel Candel.

Una observación de Paula Olmos (Donde no habita el olvido, p. 297): «Si en 1962, en lo que se recuerda como uno de los mayores escándalos de la Universidad española, no obtuvo la cátedra de Lógica de la Universidad de Valencia, fundamentalmente por recelos extra-académicos, de tipo político, la verdad es que, a pesar de sus precauciones en el tono y la elección de los temas […]; también se le acusó allí de estar imbuido por el virus de la lógica formal. En todo caso, la opción de Manuel Sacristán por Leibniz formaba parte de un interés temprano con lo que él llamaba “el programa algorítmico” que se vio a su vez acrecentado en el curso de sus relaciones con Scholz. Esta preocupación por “el programa algorítmico”, en cierto sentido reanimado y reactualizado en el “programa de Hilbert”, también se reflejará en sus reflexiones sobre los resultados de limitación de Gödel.»

Sobre «La oposición de la cátedra de lógica de la Universidad de Valencia» (Del pensar, del vivir, del hacer, pp. 77-78), ha señalado el profesor Christian J. Martín Rubio:

El Tribunal [de la oposición] fue nombrado en mayo de 1961, quedando constituido por: Presidente: Excmo. Sr. D. José Corts Grau y Vocales, de designación automática: D. Lucio Gil de Fagoaga, D. Leopoldo Eulogio Palacios Rodríguez y D. Angel González Álvarez, Catedráticos de la Universidad de Madrid; y de libre elección, entre la terna propuesta por el Consejo Nacional de Educación, D. Alfonso Candau Parias, catedrático de la Universidad de Valladolid. No se produjo ninguna renuncia.

Puede constatarse que varios de estos catedráticos lo fueron en lo que se ha llamado «el asalto a las cátedras», que permitió ocupar las cátedras que habían quedado disponibles como consecuencia de la guerra, el exilio y las depuraciones llevadas al efecto, ocupándose en buena medida por miembros o simpatizantes del Opus Dei y del grupo integrista católico Asociación Católica Nacional de Propagandistas (A.C.N.P.). Se puede afirmar que, excepto Lucio Gil de Fagoaga, el resto del Tribunal pertenecían a alguna de estas dos organizaciones.

El 21 de mayo de 1962, un día antes de que fuesen convocados los opositores, a las 12 de mañana, en el Salón de Grados de la Facultad de Filosofía y Letras de la Universidad de Madrid, lugar en el que se desarrollará toda la oposición, se constituyó el Tribunal con las personas nombradas para tal efecto, nombrándose como Secretario a Candau Parias y volviéndose a reunir por la tarde para determinar en que forma había de verificarse los ejercicios quinto y sexto. El proceso se debía realizar en seis pasos.

La primera prueba consistía en el estudio y examen de los trabajos presentados por los opositores. Para ello el Tribunal se ocupó desde la tarde del día 22, hasta la mañana del día 5 de junio, ambas inclusive, excepto los días 27 y 31 de mayo y el 3 de junio, procediéndose en la tarde de ese día 5 a que los opositores presentaran y expusieran su labor personal.

El segundo ejercicio, desarrollado el día 6 de junio, consistió en la exposición oral del concepto, método, fuentes y programa presentado por los opositores.

Al día siguiente se efectúa el tercer ejercicio, consistente en la exposición de una lección elegida por el opositor de su programa. Sacristán expuso la lección número 21: «Motivación y estructura del cálculo de inferencia natural»; y por la tarde, Garrido expuso su lección número 40: «La estructura del silogismo modal», seguido de Pérez Ballestar, que expuso su lección número 4: «Bases de la lógica proposicional».

El día 8 de junio, se realiza el siguiente ejercicio. El Tribunal elegía para su desarrollo por el opositor una lección entre diez sacadas a suerte del programa. Extraídos los números correspondientes, los temas elegidos para desarrollar fueron: Las funciones lógicas, para Sacristán; a Manuel Garrido le correspondió Los postulados y las hipótesis y a Pérez Ballestar, La construcción de una ciencia.

El penúltimo ejercicio se desarrollaba el día 9 de junio. Consistía en un comentario de uno de los cinco textos que proponía el Tribunal que, en este caso, correspondieron a Descartes, Bacon, Stuart Mill, Kant y Husserl. En el sorteo de referencia salió Kant y la Crítica de la razón pura, un fragmento que se picó de modo habitual en el volumen.

El sexto y último ejercicio tiene lugar el día 11 de junio. Consistía en el desarrollo de un tema sacado a suerte de entre los seleccionados por el Tribunal: 1. Planteamiento sistemático y dimensión histórica de la cuestión de los universales; 2. El universal lógico; 3. El principio de la razón suficiente; 4. La intencionalidad en la Lógica clásica y en la Fenomenología; 5. Nominalismo y Realismo; 6. Las categorías en Aristóteles y Kant; 7. Lógica formal y Lógica inductiva; 8. Análisis y síntesis; 9. La clasificación de las ciencias teoréticas. La suerte decidió que el tema a desarrollar fuera el noveno, leyendo los opositores sus trabajos a partir de las 19h de ese mismo día.

De esa forma llegamos al día 12 de junio. A partir de las nueve de la mañana se reúne el Tribunal para deliberar sobre la actuación de los opositores y elaborar un informe, quedando para la tarde con el fin de proceder a la votación pública. En estas deliberaciones (junto con el resultado final) queda patente la apuesta del Tribunal por «una lógica de carácter aristotélico que sólo accidentalmente puede ser enriquecida, a modo de instrumento aclaratorio, por procedimientos formalistas» –valoración de los ejercicios de Manuel Garrido–, mientras considera que «el doctor Sacristán muestra dominio de las técnicas actuales del cálculo lógico y una cierta orientación al tratamiento histórico de las cuestiones, dentro de un concepto general de la lógica en que pretende armonizar los conceptos fundamentales de la lógica clásica o intencional con los resultados de la lógica simbólica».

A las ocho de la noche del día 12 de junio de 1962 se procede a la votación, con el siguiente resultando: el Sr. Secretario D. Candau Parias vota a D. Manuel Garrido Jiménez; el Dr. González Alvarez vota a D. Manuel Garrido Jiménez; el Dr. Palacios vota a D. Manuel Garrido Jiménez; el Dr. Gil de Fagoaga vota a D. Jorge Pérez Ballestar y el Presidente D. Corts Grau vota a D. Manuel Sacristán Luzón.

Como colofón, en la Orden de 13 de julio de 1962 (B.O.E. de 17 de ese mismo mes), Manuel Garrido Giménez es nombrado catedrático numerario de lógica de la Facultad de Filosofía y Letras de la Universidad de Valencia, cátedra que ocuparía hasta su traslado a Madrid en 1980, al producirse la jubilación de Leopoldo Eulogios…»

Por su parte, Víctor Méndez Baiges (La tradición de la intradición, p. 435), observa: «Pero entonces, ¿qué imprime el carácter dramático que tantos se empeñan en ver en esta oposición? Si no se fue contra el arbusto lógico ni contra el enemigo comunista: ¿contra quién arremetió el tribunal? ¿Contra nadie?»

No, prosigue Méndez Baiges. «Arremetió y bien que arremetió. Arremetió, lo mismo que los que habían provocado la salida de Sacristán de la Facultad un par de años antes, contra un tipo de hombre al que no consideraban adecuado. Contra el tipo de hombre que piensa con independencia y que, al contrario que los meros sabedores de cosas, cree en la existencia de los hombres del destino. Arremetió contra quien no está dispuesto a separar la teoría de la práctica, la política de la Filosofía, y, en consecuencia, acata tan poco las consignas establecidas que bien puede darle por hacerse comunista. Arremetió, si se quiere, contra cierta concepción de la Filosofía. Para eso habían sido puestos allí los miembros del tribunal. No para sancionar comunistas, que de eso ya se ocupaba la policía. Tampoco para impedir que “p” entablara relaciones amistosas con “q” en nuestro país, algo que les traía sin cuidado, lo mismo que el hecho de que las autoridades inglesas fueran sustituyendo a las alemanas en las notas a pie de página. No se trataba de nada de eso. Lo que pervivía de su misión era seleccionar un tipo de hombre y evitar otro distinto. Dejar pasar al que, en su versión perezosa o laboriosa, representaban respectivamente Alfonso Candau y Manuel Garrido, cerrando el paso al que, en versión especialmente concienzuda, representaba Sacristán. El tipo de hombre para el cual la verdad era más importante que la autoridad y que, si se le pedía por ejemplo que abjurase de Ortega, y daba igual que fuera Ortega o cualquier otra cosa, decidía tranquilamente no hacer lo que se le pedía.» [las cursivas son nuestras]

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2. Sobre el Calculus Universalis de Leibniz en los manuscritos nº^s 1-3 de abril de 1679

Publicado por Albert Domingo Curto en Lecturas de filosofía moderna y contemporánea, ob. cit., pp. 159-176.

Llull y Leibniz son tenidos por los predecesores más ilustres de la lógica simbólica. Uno y otro han aspirado en efecto a mecanizar la inferencia, meta a la que se dirige también por su parte la investigación sintáctica de la lógica contemporánea. Es sólito, y no menos justo, reconocer a la obra algorítmica de Leibniz gran superioridad técnica respecto de la de Llull. Leibniz escapa al ingenuo geometrismo del doctor iluminado e intenta proceder en lógica «quemadmodum… in Algebra… calculamus»¹. Ese intento conduce a Leibniz a la construcción de un lenguaje artificial en el que realiza sus investigaciones lógicas, así como a establecer y desarrollar los principios del cálculo lógico.

El más reciente historiador de la lógica otorga por ello a Leibniz el título de «fundador de la lógica simbólica como tal, es decir, del uso de símbolos artificiales en lógica incluso para constantes lógicas (y no sólo para variables, como en todas las formas anteriores de la lógica)»², y el de «fundador de la lógica matemática», en cuanto que «el principio del procedimiento formal, es decir, del cálculo… es expresado por vez primera» por él.³

Y sin embargo, el papel de predecesor de la lógica simbólica contemporánea que pueda atribuirse a Leibniz es sumamente oscuro y discutible. No sólo por el hecho de que sus investigaciones no han sido conocidas hasta finales del siglo XIX y principios del XX –es decir, cuando ya no era posible que tuvieran una influencia determinante en el renacimiento de la investigación lógico-algorítmica–, sino también por motivos doctrinales. Las consideraciones que Leibniz hace frecuentemente a propósito de sus esbozos algorítmicos deberían turbar a cualquier lógico contemporáneo. Un manuscrito fechable acaso en 1686 y que lleva por título Projets et essais pour arriver à quelque certitude pour finir une bonne partie des disputes et pour avancer l’art d’inventer ilustra oportunamente al respecto: «L’unique moyen de redresser nos raisonnements est de les rendre aussi sensibles que le sont ceux des mathématiciens, en sorte qu’on puisse trouver son erreur à vue d’oeil, et quand il y a des disputes entre les gens on puisse dire seulement: contons, sans autre cérémonie, pour voir lequel a raison… Car par ce moyen ayant réduit un raisonnement de morale, de physique, de médecine ou de Metaphysique à ces termes ou caractères, on pourra tellement à tout moment l’accompagner de l’épreuve de nombres, qu’il sera impossible de se tromper si on ne le veut bien».⁴

Un lógico contemporáneo al que se deben progresos importantes en el campo de la semiótica, Hans Hermes, escribe a propósito de ese texto de Leibniz: «Leibniz no consiguió realizar su proyecto… Sólo las nuevas investigaciones han mostrado que es posible tratar en forma puramente algebraica la relación de consecuencia en el cálculo de predicados»⁵. Pero ese comentario pasa evidentemente por alto el alcance de las miras de Leibniz. El tratamiento algebraico de la relación de consecuencia en la lógica de predicados –en la forma semántica de Tarski, por ejemplo, que es la aquí aludida por Hermes– no puede ser considerado como realización del «proyecto» leibniziano, pues el filósofo se promete de sus algoritmos la solución de problemas «de moral o de metafísica». Por eso no es justo que mientras manifiesta su asombrada decepción ante las especulaciones que mueven el Arte llulliano, el lógico contemporáneo quiera en cambio ignorar la presencia de pretensiones muy parecidas en la obra leibniziana. El propio Leibniz se aproxima conscientemente a Llull cuando le hace como única crítica la de la obscuridad de los conceptos fundamentales del Ars, sin reprochar a ésta sus ambiciones especulativas: «Ce seroit sans doute une belle chose, que l’art de Lulle si ces termes fondamentaux Bonitas [bondad] Magnitudo [magnitud] Duratio [duración] Potentia [poder] Sapientia [sabiduría] Voluntas [voluntad] Virtus [virtud] Gloria [gloria] n’estoient pas vagues…»⁶.

Leibniz ha pedido al algoritmo lógico lo mismo que le pedía Llull: la invención de la verdad material. El filósofo aspira realmente a mecanizar la invención de esa verdad. No es la estructura de lo lógico-formal lo que Leibniz buscaba con su lógica, sino la entraña del mundo. Y la aspiración a llegar a ésta por medio de una mecanización de la inferencia puede ser tan titánica y grandiosa como se quiera⁷, pero constituye sin duda una violación de la naturaleza y límites de lo formal. La lógica simbólica contemporánea, sobre todo en atención al resultado de las investigaciones de Gödel de 1930 y 1931 y de Church de 1936, debe ser en realidad considerada como la refutación definitiva de aquellas desorbitadas pretensiones especulativas de la tradición antiaristotélica lulliana en que se mueve Leibniz.

Precisamente desde este punto de vista puede contemplarse e interpretarse adecuadamente el inquietante problema que plantea la presencia simultánea en Leibniz de unos logros técnicos lógicos agudos y hasta geniales y una esterilidad sistemática casi completa.

En abril de 1679 puso el filósofo por escrito su primer cálculo para la lógica de predicados. La única obra lógica de importancia que precede a esos escritos es la Dissertatio de arte combinatoria, escrita en 1666, es decir, a los veinte años de edad. Treinta y tres tenía Leibniz al redactar los manuscritos aludidos.⁸ Ellos contienen con todo vigor juvenil las motivaciones filosóficas iniciales del pensamiento lógico de Leibniz y benefician al mismo tiempo de una finura de análisis que indica que el lógico de la Dissertatio ha añadido a su genial precocidad la madurez. Esas circunstancias hacen que el estudio de dichos textos ilustre profundamente sobre el espíritu del algebrismo lógico leibniziano.

I. El análisis elemental de la lógica de predicados

1. En los tres primeros manuscritos de abril de 1679 construye Leibniz un algoritmo aritmético-algebraico para la lógica de predicados. Una aritmetización de la lógica de predicados suscita inmediatamente en el lector moderno la idea de procedimientos propios del siglo XX, como y especialmente la gödelización. Esa impresión viene reforzada aún más por el hecho de que Leibniz busca con ello alcanzar la misma meta a que tendía la investigación de Gödel: la consecución de un método decisorio para aquella lógica. Leibniz en efecto busca un procedimiento o unas reglas que permitan establecer «si propositio Universalis Affirmativa [o particularis affirmativa, Universalis Negativa o particularis negativa] est vera». Para ello propone la sustitución de los términos de dichas proposiciones por números o «caracteres» que los representen, cuya regla de construcción o regla fundamental formula así: «cuilibet Termino (id est subjecto vel praedicato propositionis) assignetur numerus aliquis hoc uno observato, ut terminus compositus ex aliis quibusdam terminis respondentem sibi habeat numerum productum ex numeris terminorum invicem multiplicati [A un término cualquiera (esto es, al sujeto o al predicado) asígnesele un número con este solo requisito: que al término compuesto de otros términos cualesquiera le corresponda un número producido a partir de la multiplicación de los números de los términos [simples]]». El filósofo entiende que esos números deben ser todos naturales.

Leibniz ejemplifica del modo siguiente la aplicación de la regla de construcción de los caracteres: «Exempli causa, si fingeretur terminus Animalis exprimi per numerum aliquem 2 (vel generalius a), terminus Rationalis per numerum 3 (vel generalius r), terminus hominis exprimetur per numerum 2, 3, id est 6, seu productum ex multiplicatis invicem 2 et 3 (vel generalius per numerum ar) [Por ejemplo, si imaginamos el término Animal expresado por el número 2 (o, más en general, por a), el término Racional por el número 3 (o, más en general, r), el término Hombre se expresará mediante el número 2 x 3, esto es, 6, o sea el producto de multiplicar 2 por 3 (o, más en general, por el número a.r)]».

Supuesto de la aplicación de la regla de construcción de los caracteres es evidentemente el postulado de que es posible establecer la lista de los términos fundamentales del discurso humano –desde el moral hasta el metafísico– y realizar el análisis completo de cualquier término en sus notas constitutivas. Una vez cumplida esa inicial tarea enciclopédica entra propiamente en juego, con todo derecho, la regla de construcción que permite hacer palabras «según el artificio» que Leibniz lamenta no conocieran «los autores de las lenguas universales»^9.

Es claro, empero, que Leibniz no puede esperar a tener esa lista analítica de los términos fundamentales, que no serán pocos, ya que el propio filósofo calcula que existen (24²³ – 24): 23 palabras para la lengua universal «natural»¹⁰. Por ello procede en todos sus análisis de un modo casuístico: «Numeros autem», escribe en el manuscrito nº. 2, «eligo in scribendo… et ipsi sermoni accomodando [«Pero elijo números al escribir y adaptarlos al discurso mismo»] ¹¹. La imposibilidad de disponer desde el principio del gigantesco «árbol de Porfirio» que requiere la Characteristica universalis¹² facilita así el camino a la tendencia algebrista, imponiendo la renuncia a los números y su sustitución por letras. Veremos más adelante (II) cómo algebriza Leibniz consecuentemente su algoritmo. Pero sus reflexiones empiezan con un análisis elemental aritmético que estudiaremos en primer lugar.

No disponiendo de todos los elementos de la característica, no disponiendo de un universal árbol de Porfirio, se podrá trabajar sin embargo aritméticamente con dos términos cuando se sepa que se encuentran o no se encuentran bajo el género desde el cual se los considera, sin perjuicio de que estén subsumidos o no por otro u otros géneros no relevantes para el caso particular: «Nobis vero in calculo sufficit duas res ullas ex quibusdam notionibus certis a nobis designatis habere communes, etsi alias forte communes habeant [A nosotros en el cálculo nos basta con que haya dos cosas comunes cualesquiera a partir de algunas nociones seguras señaladas por nosotros, aun cuando pudiera haber otras comunes]»¹³. El casuismo a que así se condena Leibniz es empero excesivo, pues le bastaría con subsanar la vaguedad de la regla fundamental para sistematizar un tanto el algoritmo aritmético inicial. Tal sin duda habría hecho antes de publicar estos textos.

No es en efecto indiferente –aunque la regla fundamental no lo precise– el modo como se «fingant» los números naturales expresivos de los términos. La ficción tiene que ser –incluso cuando todavía falta la Característica universal– sistemática, y regirse por algunos principios o reglas precisas. Los números de los términos deben reflejar las relaciones de inclusión (proposiciones afirmativas) o de exclusión (proposiciones negativas)¹⁴ que median entre las clases que representan¹⁵. Será pues conveniente, antes de interpretar el algoritmo, aclarar su vaga regla fundamental resolviéndola en otras dos que aseguren la expresión sistemática y unívoca de aquellas relaciones.

[Nuestra notación de las funciones de la lógica de clases será la habitual desde Russell-Whitehead: ⊃: inclusión; ∪: suma; ∩: producto; ∈: pertenencia; ∉: no-pertenencia. Se entiende que ninguna de las clases nombradas en las reglas y demostraciones que siguen es la clase ∧ ni la clase ∨.

Nuestra notación de las funciones lógico-proposicionales será la de Scholz: ~: negación (0,1); ∨: disyunción (1,1,1,0); ∧ conjunción (1,0,0,0); →: «implicación» diodoreana (1,0,1,1,); ↔: equivalencia (1,0,0,1).

Nuestra notación en el lenguaje de grado 1 (metalenguaje del lenguaje de objetos) se inspira en el propio Leibniz y utilizará los símbolos: non (que corresponde a la negación); vel (que corresponde a la disyunción); et (que corresponde a la conjunción); seq (que corresponde a la »implicación»); aequ (que corresponde a la equivalencia).

Por último, y por lo que hace a las peculiaridades del algoritmo leibniziano:

a, b, c, m, n, r, v (letras minúsculas) son símbolos de números naturales; expresiones de la forma «x/y» deben leerse: «x es exactamente divisible por y» o «‘x/y’ es una fracción impropia». Expresiones de la forma «x/y = z» tienen en cambio la significación usual].

2. Por lo que hace a las proposiciones afirmativas, esto es, a la inclusión de clases, bastará con dotar al sistema leibniziano de una regla sobre los números representantes o caracteres de las clases que se encuentran en dicha relación de inclusión. Si A, B, etc. son clases, y a, b, etc. son sus caracteres o números representantes, la regla deberá exigir que el número a de una clase A incluida en una clase B sea múltiplo del número b de ésta. Esto es propiamente (en términos extensionales) lo que pide la regla fundamental de Leibniz. Esta pues podrá formularse así:

Regla constructiva R.I: A ⊃ B seq a = mb.

3. Por lo que hace a las proposiciones negativas, esto es, a la exclusión de clases, la regla podrá establecerse como resultado de nuestras anteriores reflexiones: de acuerdo con la idea del árbol lógico de conceptos, para que la regla sea general deberá tener en cuenta que las clases que se excluyen se encuentran en todo caso incluidas ambas en una clase C superior. Deberán por tanto ser representadas por números a, b, que expresen a la vez la relación de inclusión de A y de B en C y la de exclusión recíproca de A y B entre sí. La relación de inclusión de A (o de B) en C vendrá suficientemente representada por la condición de la regla anterior R.I., a saber:

a = mc et b = nc.

En cuanto a la relación de exclusión entre A y B vendrá suficientemente expresada por la condición de que a y b no tengan más divisor común que c y la unidad (prescindiendo de los géneros superiores a C):

a/x et b/x seq x = c vel x = 1.

Y como a = mc y b = nc, esta condición equivale a exigir que m y n sean primos entre sí:

m/x et n/x seq x = 1. ¹⁶

Ahora podemos formular la Regla constructiva R.II:

A ∪ B ⊃ C et (x) [(x ∈ A → x ∉ B) ∧ (x ∈ B  x ∉  A)] seq

seq [a = mc et b = nc et (m/x et n/x seq x = 1)].

4. A la luz de esa regla R.II puede apreciarse que los factores m, n de ésta y de la regla R.I son los números o caracteres de los términos que en el árbol de Porfirio serían diferencias¹⁷. Por ser caracteres, serán también números naturales.

Disponiendo ya de principios precisos para la construcción de los caracteres, podemos establecer un «fragmento de característica universal» que, suministrándonos ejemplos, facilite nuestro análisis del algoritmo leibniziano:

Ejemplo de aplicación de las reglas de construcción de caracteres

térm. fund.	diferencias	c. dif.	c. térm.fund
viviente			2
	no-sensible	3
	sensible	5
vegetal (viv. no-sensible)			6
animal (viv. sensible)			10
	no racional	7
	racional	11
bruto (an. no-rac.)			70
hombre (an. racional)			110

Esa breve tabla cumple:

1º) la regla de construcción R.I. dada explícitamente por Leibniz, pues el carácter de cada término es igual al producto de los caracteres de sus notas, o lo que es igual, si el caracter de A es a y el de B es b, el caracter de A ∩ B es ab. O también: el carácter de toda clase incluida en otra es múltiplo del carácter de esta otra.

2º) la regla constructiva R.II, pues los caracteres de las diferencias de dos clases incluidas en una clase más extensa y que se excluyen recíprocamente la una a la otra son primos entre sí.

5. Construidos los caracteres, podemos pasar al estudio de las «regulae usus characterum in propositionibus categoricis» [Reglas del uso de caracteres en las proposiciones categóricas], las cuales constituyen propiamente el objetivo del algoritmo leibniziano e integran un repertorio de teoremas decisorios:

Regla de uso R.1:

«Si propositio Universalis Affirmativa est vera, necesse est ut numerus subjecti dividi possit exacte seu sine residuo per numerum praedicati [Si la proposición universal afirmativa es verdadera, es necesario que el número del sujeto pueda dividirse exactamente sin resto por el número del predicado]».

Ejemplo: Decidir la verdad o falsedad de la proposición «todos los hombres son racionales». Solución: la proposición es verdadera porque 110/11 = 10 es una división «sine residuo».

Leibniz no da demostraciones de estas reglas de uso; pero pueden suministrarse con medios elementales:

Demostración: Sea verdadera la proposición «todos los a son b». En términos extensionales: A ⊃ B

Por R.I.:

a = mb (m es un número entero, por ser el carácter de una diferencia.- Cfr. pág. XXX).

Luego: a/b

Regla de uso R.2:

«Si propositio particularis affirmativa est vera, sufficit ut vel numerus praedicati exacte dividi possit per numerum subjecti vel numerus subjecti per numerum praedicati [Si la proposición particular afirmativa es verdadera, basta que el número del predicado pueda dividirse exactamente por el número del sujeto o bien el número del sujeto por el número del predicado]».

Ejemplo 1º: Decidir la verdad o falsedad de la proposición «algunos vivientes son vegetales». Solución: la proposición es verdadera porque 6/2 = 3 es una división sin residuo.

Ejemplo 2º: Decidir la verdad o falsedad de la proposición «algunos hombres son vivientes». Solución: la proposición es verdadera porque 110/2 = 55 es una división sin residuo.

Demostración: Sean las clases A, B, A₁, B₁; A₁ es una subclase de A y B₁ es una subclase de B. Sean a, b, a₁, b₁ los números o caracteres de las clases A, B, A₁, B₁ respectivamente. Una proposición afirmativa particular verdadera referente a elementos de esas clases tendrá una forma comprendida en la siguiente fórmula general:

A₁ ⊃ B vel B₁ ⊃ A¹⁸

De aquí: a₁ = mb vel b₁ = ma.

De aquí: a₁/b = m vel b₁/a = m.

Luego: a₁/b vel b₁/a.

Regla de uso R.3:

«Si propositio Universalis Negativa est vera, necesse est ut neque numerus subjecti dividi possit exacte per numerum praedicati neque numerus praedicati per numerum subjecti [Si la proposición universal negativa es verdadera, es necesario que ni el número del sujeto pueda dividirse exactamente por el número del predicado ni el número del predicado por el número del sujeto]».

Ejemplo: Decidir la verdad o falsedad de la proposición «ningún hombre es vegetal». Solución: la proposición es verdadera porque 110/6 y 6/110 no son divisiones sin residuo.

Demostración: Sea verdadera la proposición «ningún a es b». Esto significa que ningún elemento de la clase A es elemento de la clase B y viceversa. O sea:

(I) (x) [(x ∈ A → x ∉ B) ∧ (x ∈ B → x ∉ A)]

Por otra parte, y de acuerdo con el principio porfiriano del árbol de los términos, tanto la clase A como la clase B estarán incluidas en una clase C más extensa. O sea:

(II) A ∪ B ⊃ C

Pero (I) y (II) son precisamente las condiciones que cumplen el implicante de la regla R.II, y por tanto, si a es el número de A y b el de B y c el de C, se tendrá:

A = mc y b = nc , siendo m y n primos entre sí, por lo que el producto mc (= a) no será divisible por el producto nc (= b) ni éste por aquél:

non a/b et non b/a.

Regla de uso R.4:

«Si propositio particularis negativa est vera, necesse est numerus subjecti non possit dividi exacte per numerum praedicati [Si la proposición particular negativa es verdadera, es necesario que el número del sujeto no pueda dividirse exactamente por el número del predicado]».

Ejemplo: Decidir la verdad o falsedad de la proposición «algunos vivientes no son hombres». Solución: la proposición es verdadera porque 10/100 no es una división sin residuo.

Demostración: Sea verdadera la proposición «algún a no es b». Esto significa que entre las clases A y B existe la siguiente relación: una subclase A1 de A no tiene ningún elemento que lo sea también de la clase B. O sea:

(I) (x) [(x ∈ A₁ → x ∉ B) ∧ (x ∈ B → x ∉ A₁).

Ahora bien, de acuerdo con el principio general del árbol lógico de conceptos, A y B (y por tanto también A₁ y B) están incluidas en una clase más extensa C. O sea:

(II) A₁ ∪ B ⊃ C.

Pero (I) y (II) cumplen las condiciones del implicante de la regla R.II, por lo cual se tendrá:

a₁ = mc et b = nc

siendo m y n primos entre sí. Consiguientemente, el múltiplo mc de c (= a₁) no será divisible por el múltiplo nc (= b) de c. O sea:

non a/b.

II. El análisis algebraico de la lógica de predicados

1. Tras enunciar los teoremas («regulae») R.1–R.4 se propone Leibniz pasar a una formulación más abstracta o algebraica del algoritmo: «Literas adhibebimus… quando aut numeri non adsunt aut saltem non speciatim considerantur, sed generaliter tractantur [Empleamos letras cuando o bien no se dispone de números o bien no se consideran de manera específica, sino que se tratan de manera general]».¹⁹

La fracción que expresa la razón existente entre el número del sujeto y el número del predicado de una proposición (o viceversa) puede ser simplificada: «Generaliter itaque hos simplicissimos numeros ponamus esse v, r, ita ut sit a ad b ut r ad v [De manera general, pues, supongamos que estos números simplicísimos son v, r, de modo que a sea a b como r a v]».²⁰ Por los teoremas R.1 y R.2 está claro que las fracciones irreducibles ahora contempladas, r/v, v/r, pueden ser también impropias, o con otras palabras, puede ocurrir: v = 1, r = 1.

Leibniz llega pues a formulaciones del tipo siguiente:

«a/b aequ r/v», «b/a aequ v/r».

Y generaliza: «Semper propositio mutari potest in aequationem [Una proposición puede siempre convertirse en igualdad]».²¹

Como forma general de esas «ecuaciones proposicionales» utiliza Leibniz más frecuentemente la siguiente:

«va = rb»²²

El teorema se completa con su inversión: siempre puede pasarse de una ecuación de la forma dada (una ecuación «proposicional») a una proposición, «nam quilibet terminus aequationis potest esse subjectum propositionis modo alter fiat praedicatum [Pues cualquier término de una igualdad puede ser sujeto de la proposición y de otro modo convertirse en predicado]». Efectivamente, puesto que los coeficientes v, r igualan las extensiones (y comprensiones) de va y rb. Pero «terminus qui fieri debet subjectum in propositione relinquendus est qualis erat in aequatione [El término que debe convertirse en sujeto en la proposición debe quedar tal como era en la igualdad]» para no alterar la extensión dada, mientras que «in termino vero qui praedicatum fieri debet potest omitti litera indeterminata [En cambio, en el término que debe convertirse en predicado puede omitirse una letra indeterminada]», es decir, la cuantificación del predicado²³, «ut n aequ. sm. Hinc fiet n est m [Para que n sea igual a m. De donde resultará que n es m]»²⁴, ya que (en lógica de predicados de primer grado) «nihil refert quodnam signum sit praedicati [Nada indica cuál sea el signo del predicado]»²⁵.

El teorema (T) así argüido por Leibniz afirma en resolución:

1º) se puede pasar de a est b a va = rb;

2º) se puede pasar de va = rb a (va est b rb est a).

2. El teorema T es una proposición referente a las proposiciones de la lógica de predicados, exactamente igual que los teoremas R.1–R.4. Les es empero sistemáticamente anterior, pues constituye en rigor el principio de la estructura de las proposiciones, al igual que las «reglas» fundamentales de construcción (R.I, R.II) son los principios de la estructura de los términos. R.I, R.II y T son pues los teoremas semióticos fundamentales del sistema.

3. Precisamente la explicitación del teorema T permite finalmente la concepción del sistema como un algoritmo algebraico, pues autoriza a Leibniz a prescindir ya de la fórmula tradicional proposicional –con el verbo esse– para trabajar con ecuaciones, es decir, con formas en las que, para usar las palabras de Bochenski antes citadas, también la relación lógica está simbolizada, y no sólo las variables.

4. La constitución o estructura de las proposiciones depende naturalmente de la de los términos. Leibniz sienta cuatro nuevas reglas «de uso» –es decir, cuatro teoremas sobre las proposiciones– que constituyen un análisis de la forma general de lo que venimos llamando «ecuación proposicional» y están implicadas por las reglas R.1 – R.4, implicándolas a su vez. Estos nuevos teoremas son pues equivalentes a los teoremas R.1 – R.4. Leibniz empero parece considerarlos como los más adecuadamente expresivos del análisis de las proposiciones; y con razón, pues sólo estos teoremas tienen explícitamente en cuenta el teorema fundamental T y, al concebir consecuente y explícitamente la proposición como ecuación, se mueven propiamente en el ámbito de un análisis algebraico. Como tales los interpretamos.

R.1’: Si una proposición universal afirmativa es verdadera, «debet numerus (v) subjecti numerum multiplicans esse unitas [El número (v) del sujeto debe ser la unidad que multiplica al número]».

Demostración de: R.1 aequ R.1’

a) demostración de: R.1 seq R.1’

Sea la ecuación proposicional va = rb, que corresponde por hipótesis a una proposición universal afirmativa verdadera:

Por R.1 se tendrá: r/v. Y por definición de «numeri simplicissimi»: v = 1.

b) demostración de: R.1’ seq R.1

Sea la ecuación proposicional 1a = rb, que corresponde por hipótesis a una proposición universal afirmativa verdadera.

De aquí: b/a = r. Pero r es un número entero. Luego: b/a.

R.2’: Para que una proposición particular afirmativa sea verdadera, «sufficit alterutrum numerus (r vel v) terminorum numeros multiplicantem esse unitatem [«Basta que el número (r o v) de uno u otro de los términos sea la unidad que multiplica a los números»].

Demostración de: R.2 aequ R.2’

a) Demostración de: R.2 seq R.2’

Sea la ecuación proposicional va = rb, que corresponde por hipótesis a una proposición particular afirmativa verdadera.

Por R.2 se tendrá a/b vel b/a.

Por definición de r, v: r/v vel v/r.

Y como r, v son «numeri simplicissimi»: v = 1 vel r = 1.

b) Demostración de: R.2’ seq R.2

Sean las ecuaciones proposicionales

la = rb vel va = lb

que corresponden por hipótesis a dos proposiciones particulares afirmativas verdaderas.

De aquí: a/b = r vel b/a = v.

Pero r, v son caracteres (y por tanto números enteros).

Luego: a/b vel b/a.

R.3’: En las proposiciones universales negativas verdaderas «debet uterque numerus terminorum numeros multiplicans (r, v) esse major unitate [Uno y otro número de los términos (r, v) que multiplica a los números deben ser mayores que la unidad]».

Demostración de: R.3 aequ R.3’

a) demostración de: R.3 seq R.3’

Sea la ecuación proposicional va = rb, correspondiente por hipótesis a una proposición universal negativa verdadera.

Por R.3 se tendrá: non a/b et non b/a.

Y por definición de r, v : non r/v et non v/r.

Luego v ≠ 1 et r ≠ 1.

Y como R.I no admite números menores que la unidad:

v > 1 et r > 1.

b) demostración de: R.3’ seq R.3

Sea la ecuación proposicional va = rb, con v > 1, r > 1, y que corresponde por hipótesis a una proposición universal negativa verdadera. La demostración procede por reducción al absurdo:

Supongamos que, valiendo R.3’, no vale R.3. Se tendrá:

a/b vel b/a.

De aquí: r/v vel v/r

Y como r, v son «numeri simplicissimi»: v = 1 vel r = 1, en contradicción con la hipótesis

Luego: non a/b et non b/a

R.4’: Para que una proposición particular negativa sea verdadera, «debet numerus (v) subjecti numerum multiplicans esse major unitate».

Demostración de: R.4 aequ R.4’

a) demostración de: R.4 seq R.4’

Sea la ecuación proposicional va = rb, correspondiente por hipótesis a una proposición particular negativa verdadera.

Por R.4 se tendrá: non a/b.

De aquí: non r/v.

Y como r, v son «numeri simplicissimi»: v ≠ 1

No habiendo (por R.I) caracteres menores de la unidad:

v > 1

b) demostración de: R.4’ seq R.4

Sea la ecuación proposicional va = rb, con v >1, y que corresponde por hipótesis a una proposición particular negativa verdadera. La demostración procede por reducción al absurdo:

Supongamos que valiendo R.4’ no vale R.4. Se tendrá: a/b

De donde: r/v

Y como r, v son «numeri simplicissimi»: v = 1, en contradicción con la hipótesis.

Luego: non a/b²⁶.

III. Sobre la naturaleza del algoritmo estudiado

1. En resolución, pues, las proposiciones R.I, R.II, R.1, R.2, R.3, R.4 por una parte, y las proposiciones R.I, R.II, T, R.1’, R.2’, R.3’, R.4’ por otra, integran dos sistemas equivalentes. Y dado que el segundo, más correcto por formular el teorema T, que queda implícito en el primer sistema, es fruto de un tipo de análisis más propiamente algebraico y de una reflexión de Leibniz sobre su primer apunte de los primeros folios del manuscrito nº. 1, a él referiremos los resultados de nuestras anteriores discusiones.

2. El sistema constituye un repertorio de teoremas decisorios (sobre el cálculo de predicados de primer grado) y como tal lo concibe Leibniz, como revela ya su uso de la palabra «regla» en vez de «teorema». El filósofo desea disponer de unos procedimientos que le permitan decidir de la verdad o falsedad de una proposición.

El que tenga éxito en esa empresa, siendo así que trabaja sobre un lenguaje indecidible en general, prueba naturalmente sin más que el sistema no recoge todo aquel lenguaje. La parte recogida es por cierto fácil de determinar: será la constituida por aquellas clases cuyos caracteres se posean en cada momento. Así lo expresa Leibniz en términos cartesianos: su sistema «sufficit ad omnes res totius mundi calculo nostro comprehendendas, quatenus de iis notiones distinctas habemus…[en la medida en que de estas cosas tenemos nociones distintas].»²⁷

Esta constatación tiene por fuerza que decepcionar al lógico contemporáneo. Ella indica, en efecto, que la algebrización es en el fondo ficticia o, dicho con más rigor, no se mueve en el grado de abstracción correspondiente a un discurso formal. Los teoremas del sistema son sólo transformables en reglas –en procedimientos decisorios– para someterles proposiciones de un lenguaje natural materialmente significativo, no formas o funciones proposicionales. Ahora bien: éste es precisamente el tipo de análisis de la lógica tradicional, como reconoce Bochenski, pese a los títulos que otorga a Leibniz²⁸.

Por eso no puede sorprender que Leibniz haga culminar su trabajo, en el último de los manuscritos estudiados, en una reformulación del análisis aristotélico de la oposición y conversión de proposiciones dentro de su sistema algebraico²⁹. Véase a título de muestra la demostración de la conversio per accidens de una proposición en A:

A demostrar «Si n est m, Ergo vm est n»³⁰

Demostración: Sean v, r los «numeri simplicissimi» de n, m respectivamente.

Por el teorema T: rn = vm.

Pero como se trata de una proposición universal afirmativa, se tendrá por R.1’: r = 1.

De donde: n = vm.

Y de nuevo por el teorema T: vm est n.

En resolución, y como afirma Leibniz, «ex iis [scil. de su sistema] circa propositiones categoricas… facile cuncta derivantur [A partir de estas consideraciones (o sea, a partir de su sistema) sobre las proposiciones categóricas…se deriva fácilmente todo]». Las anteriores discusiones muestran que se trata, por así decirlo, de cuncta ab Aristotele demonstrata [Todas las cosas demostradas por Aristóteles]. Los teoremas R.1’- R.4’ no son en efecto más que una formulación leibniziana de las relaciones de inclusión y exclusión de conceptos ya aclaradas por el análisis aristotélico. Tal era por cierto el significado del postulado de la realización del árbol de Porfirio o Characteristica universalis. En verdad, Leibniz no necesitaba para el viaje las alforjas del análisis algebraico ni menos las de su genio universal.

3. La patente esterilidad del intento leibniziano puede describirse desde un punto de vista estrictamente lógico-técnico diciendo lo siguiente: Leibniz se ha limitado a analizar (aunque algebraicamente) el lenguaje natural, al modo aristotélico, en vez de construir realmente el algoritmo. Por eso no ha llegado a un grado de abstracción suficiente para que se le planteara con toda su dificultad el problema de decisión. Por permanecer en el ámbito de las significaciones materiales y del lenguaje natural, Leibniz no nota la presencia en su horizonte del obstáculo que hará baldío su esfuerzo: el infinito numerable que de hecho cubren los términos de sus fórmulas en tanto que sean verdaderas fórmulas.

Desde un punto de vista lógico-técnico queda así ciertamente explicada la esterilidad de la algebrización de la lógica de predicados en los manuscritos de abril de 1679. Pero ¿por qué ha desconocido Leibniz la potencia del ámbito en que se movía? ¿Por qué ha puesto en la base de todo su esfuerzo el postulado de la finitud de ese ámbito, a pesar de haber sido él el primero en analizarlo por medio de la serie de los números naturales? Esta pregunta encierra la cuestión de los fundamentos últimos de la lógica algebraica de Leibniz. Sin embargo, no es una pregunta lógico-técnica, sino lógico-filosófica.

4. El fundamento último de ese «finitismo» lógico de Leibniz es su noción de sustancia, tal como ésta se expresa por ejemplo en la tesis 9ª del Discurso de Metafísica: «Que cada sustancia singular expresa todo el mundo a su manera, y que en su noción están comprendidos todos sus acontecimientos con todas sus circunstancias, y toda la serie de las cosas exteriores». Ahora bien: la «manera» propia de la mónada humana es el representar, el conocer. Por ello los hombres «tenemos todas las ideas», como dice la tesis 26ª del Discours. Esta tesis presupone la de la finitud numérica de esas ideas, que pueden estar «todas» en nuestra mente, y fundamenta la concepción leibniziana de todo juicio como analítico³¹. Por último, como el lenguaje es el lugar de las nociones, en sus «términos» y en sus proposiciones se cumplirán aquellas tesis sobre las ideas y los juicios. Por ello emprende Leibniz la realización de su algoritmo sin desanimarse por el hecho de no tener completo el árbol lógico ni, por tanto, la característica universal. Por eso, y no porque verdaderamente pase a un grado de abstracción –a un nivel algebraico auténtico– que le permita desinteresarse de los términos significativos materiales. El finitismo metafísico anejo a su noción de sustancia le permite creer que la característica es realizable como repertorio completo de los elementos del análisis lógico-algebraico, y no sólo con los fines y límites utilitarios de un «esperanto». En esa fe descansa la turbadora esterilidad general de la algorítmica lógica de Leibniz, tan fecunda en enseñanzas particulares.

5. La esencia del esfuerzo algorítmico de Leibniz se revela pues sólo a la mirada filosófica. Cosa parecida ocurre con casi todos los grandes lógicos –de Aristóteles a Wittgenstein– que han sido al mismo tiempo verdaderos filósofos. Y un filósofo se caracteriza por la sistematicidad de su pensamiento, o al menos por su aspiración a la plena totalidad del mismo; ello hace prácticamente imposible la comprensión suficiente de una de sus doctrinas –tal la lógica– si no la precede y acompaña la de los fundamentos filosóficos de su pensar. Todo lo cual vale máximamente del pensador que ha aspirado a personificar una «perennis quaedam philosophia» y a conseguir un «calculus universalis».

Notas
¹ Elementa characteristicae universalis, in Couturat, Opuscules et fragments inédits de Leibniz, Paris, 1903, pág. 43. La edición de Couturat será en adelante citada con la sigla. C.O.
² Bochenski, Formale Logik, Freiburg, 1956, p. 322.
³ Bochenski, op. cit., pág. 323.
⁴ C.O., pág. 176.
⁵ Hermes H., Einführung in die mathematische Logik, texto ciclostilado de las lecciones del semestre de verano de 1954; Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung der Univ. Münster, p. 65.
⁶ C.O., p.177. La traducción, como hemos señalado, es de Miguel Candel.
⁷ Cfr. «Die gegenwärtige Logistik und Leibniz» de Georgi Schischkoff, in Beiträge zur Leibniz-Forschung, 1947, págs. 224-240.
⁸ C.O, pp. 42-84.
⁹ C.O., p. 95.
¹⁰ C.O., p. 96.
¹¹ C.O., p. 49.
¹² Leibniz no parece tener siempre presente que su doctrina de los caracteres supone la ordenación total extensional-intensional de los términos. Pero cuando habla de termini disparates se le impone inmediatamente aquella necesidad. Sean muestra de ello estos dos fragmentos del manuscrito nº 2: «Si neuter [terminorum] in altero continetur, tunc vel commune aliquid continent vel toto genere differunt» [«Si ninguno de los dos términos está contenido en el otro, entonces o bien contienen algo en común o difieren totalmente en género»] (C.O., pág. 52). Leibniz añade tras la palabra «continent» la aclaración «quod non nimis remotum sit» [«que no sea demasiado lejano»], con lo que los términos que «toto genere differunt» no differunt toto genere, sino que son simplemente aquellos cuyo primer género común es muy lejano en el árbol lógico de conceptos. El segundo fragmento aludido lo dice claramente: «Si neuter terminorum in altero continetur, apellantur Disparata, et tunc… vel aliquid commune habent, vel toto genere differunt. Aliquid commune habent, qui sub eodem sunt genere, quae posses dicere Conspecies… Et si genus erit remotissimum –cursiva MSL–, exempli gratia Substantia, aliquas res dicimus esse Heterogenea seu toto genere diferre, ut Corpus et Spiritum: non quod nihil illis commune sit –cursiva MSL–, saltem enim ambo sunt substantiae, sed quod hoc genus commune sit valde remotum. Unde patet quid Heterogeneum dicendum sit vel non, a comparatione pendere» [«Si ninguno de los dos términos está contenido en el otro, se llaman Dispares y entonces… o bien tienen algo en común o difieren totalmente en género. Tienen algo en común los que están comprendidos en el mismo género, a los que podríamos llamar Coespecies. Y si el género fuera muy remoto, por ejemplo Substancia, de algunas cosas decimos que son Heterogéneas, o sea que difieren totalmente en género, como Cuerpo y Espíritu: no porque no tengan nada en común, pues ambas son, al menos, substancias, sino porque ese género común es muy remoto. De donde resulta claro que depende de una comparación decir si algo es heterogéneo o no»] (C.O., p. 53).
¹³ C.O., pp. 53-54
¹⁴ En el manuscrito nº. 2, Leibniz, teniendo precisamente que aclarar relaciones entre términos, recuerda que no las ha definido suficientemente, y, tras indicar las precisiones que necesita en aquel lugar, escribe: «haec omnia attente consideranti patent ex Regula nostra fundamentale» [«A quien lo estudie atentamente todo esto le resultará patente a partir de nuestra Regla fundamental», traducción MC] (C.O., p. 63)
¹⁵ Las reflexiones de Leibniz proceden según el punto de vista de la comprensión, pero él mismo había pensado ya en una formulación extensional de su algoritmo, que será la expuesta aquí por razones de sencillez en el simbolismo: «In scholis aliter loquuntur, non notiones spectando, sed exempla notionibus universalibus subjecta. Itaque metallum dicunt esse latius auro… Et haec quadam observatione adhibita, et characteribus accomodatis possunt omnes regulae logicae a nobis demostrari alio nonihil calculo quam hoc loco fiat; tantum quadam calculi nostri inversione» [«En las escuelas hablan de otra manera, no atendiendo a las nociones, sino a ejemplos cubiertos por nociones universales. Así pues, dicen que metal es más amplio que oro… Y estas cosas, hecha alguna observación y adaptados convenientemente los caracteres, podemos demostrar todas las reglas lógicas mediante algún otro cálculo diferente del aquí empleado; únicamente con una cierta inversión de nuestro cálculo»] (C.O., pág.53).
¹⁶ En el manuscrito nº. 5 (no estudiado aquí) para mientes Leibniz en que debe poner esa condición (Cfr. C.O., p. 171).
¹⁷ Así lo ve Leibniz en el lugar citado en la última nota.
¹⁸ Así lo exige el postulado de la realización de la Characteristica universalis o «árbol de Porfirio». De otro modo, es decir, sin ese postulado –la regla (y con ella R.4) sería falsa, como precipitadamente afirma Couturat por no tener en cuenta dicho postulado (La logique de Leibniz, Paris 1901, pp. 327-328).
¹⁹ C.O., p. 50.
²⁰ Leibniz introduce aquí letras mayúsculas. Mantenemos los signos usados hasta ahora.
²¹ C.O., p. 60.
²² El principio de transformación de toda proposición en una ecuación ha llevado a Leibniz a introducir la cuantificación del predicado, generalmente atribuida a Hamilton y, con mayor justicia, a Bentham. Que Leibniz la conoce ya debería quedar claro por la anterior forma general de ecuación procedente de una proposición. En el caso de una proposición universal afirmativa, r y v son en efecto los números «simplicissimi» del sujeto y del predicado respectivamente y la forma general permite escribir: a = rb/v
El factor v que pasa a dividir la extensión del predicado b multiplica al mismo tiempo su comprensión para hacer una y otra iguales a las del sujeto. Una y otra función van cumplidas plenamente por el factor r/v en la siguiente forma explícita: a = r/v.b, r/v es una cuantificación del predicado.
En términos de clases, si A es la clase de a y B la de b, la de r/v será la clase C de la diferencia de la especie A dentro del género B: A ≡ B ∩ C.

Y en términos predicativos, si P es el predicado de A, Q el de B y R el de C: (x) (Px ↔ Qx ∧ Rx)

La multiplicación intensional es un producto de clases y una disminución de la extensión de la clase multiplicada, que es el predicado. Para el caso de la proposición universal afirmativa –siguiendo con nuestro ejemplo– el predicado viene particularizado explícitamente por el signo que multiplique su comprehensión.
Leibniz tiene conciencia de ello –como por lo demás la tenían los lógicos medievales con la doctrina de la suposición particular del predicado en la proposición universal afirmativa– cuando interpreta la fórmula r = cv escribiendo: «omnis homo est aliquid rationale» [«todo hombre es algo racional»] (Cfr. C.O., p. 59.)
²³ C.O., p. 61
²⁴ Leibniz escribe por error: «n est sm.» Couturat no corrige.
²⁵ C.O., p. 64, con un error (quoddam por quodnam) que Couturat corrige.
²⁶ Enunciado de los cuatro teoremas R.1’- R.4’ en C.O., p.45.
²⁷ C.O., p. 50, cursiva nuestra.
²⁸ Cfr. Formale Logik, pág. 323.
²⁹ Con lo que dispondrá ya de todos los elementos de la silogística clásica, menos la definición de silogismo.
³⁰ v es el factor que particulariza el género m. (Cfr. Nota 21, pág. XXX, sobre la cuantificación del predicado).
³¹ «In omni veritate universali affirmativa praedicatum inest subjecto, expresse quidem in veritatibus primitivis sive identicis, quae solae sunt per se notae; implicite autem in caeteris, quod analysi terminorum ostenditur … [En toda verdad universal afirmativa el predicado es inherente al sujeto, de manera expresa en las verdades primitivas o idénticas, únicas que son conocidas por sí mismas; de manera implícita, en cambio, en las demás verdades, lo que se muestra mediante el análisis de los términos]» (Leibniz, Philosophische Schriften, ed. Gerhardt, vol. VII, pág. 309).

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3. Presentación (2)

Esquema ordenado de notas y referencias sobre el principio de identidad de los indiscernibles en Leibniz redactado para un ejercicio práctico de oposición a una cátedra de filosofía de la Complutense. El autor lo escribió en el otoño de 1978 como favor personal a su amigo Jacobo Muñoz. Escrito incluido por Albert Domingo Curto en su edición de M. Sacristán, Lecturas de filosofía moderna y contemporánea (En nuestra edición hemos usado algunas de sus notas diferenciándolas con la sigla ADC). Puede verse también entre la documentación depositada en BFEEUB y en M. Sacristán, Filosofía y Metodología de las Ciencias Sociales (II), Barcelona: Montesinos, 2024, pp. 78-96.

El texto es prueba del interés y conocimiento de Sacristán de la obra del gran filósofo, teólogo, matemático, político, lógico y jurista germano, interés y conocimiento que mostró reiteradamente en sus clases de Metodología de las Ciencias Sociales.

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4. El principio de la identidad de los indiscernibles en Leibniz

0. Prólogo sobre la existencia de un aspecto formal y otro metafísico de la cuestión.

0.1. El contraste. No es el menor de los fascinadores contrastes de la filosofía de Leibniz el que existe entre la claridad elemental, casi operacionalista, que presenta en su sistema el principio de la identidad de los indiscernibles –la tesis de que no puede haber dos cosas singulares que difieran solo en número, sin ser discernibles por sus nociones (Primae veritates, in Opuscules et fragments inédits de Leibniz, ed. Couturat, p. 519)¹– cuando se toma como regla de método, y la compleja profundidad de su dimensión metafísica.

0.2. Visión metodológica. Visto metodológicamente, el principio tiene un corte operacionalista muy siglo XX. Si se le aplica a él mismo la tesis leibniziana de la inherencia de todo predicado a su sujeto, el principio dice que la identidad es inherente a la indiscernibilidad, lo cual se puede interpretar sin abuso como una regla reductiva operacionalista.

0.3. Visión metafísica. Por otro lado, será obligado considerar cómo el principio lleva a un lugar central de la metafísica y la teología leibnizianas. Es muy posible que esa situación sea la causa de que incluso los lugares clásicos de la obra de Leibniz que son de lectura más obligada cuando se trata de la identidad de los indiscernibles resulten inmediatamente problemáticos. Uno -el punto 9 de la Monadología²– por su laconismo metafísico; otro, el capítulo 27 del libro II de los Nuevos ensayos, por el modo secundario como trata la cuestión, al servicio de la discusión por Leibniz de la psicología de Locke. Por lo demás, semejantes complicaciones no pueden sorprender tratándose de nuestro filósofo, el cual hasta en sus trabajos calculísticos está pensando en fines doctrinales metafísicos y teológicos, e incluso morales. El filósofo al que Ortega llamó «el hombre de los principios» (La idea de principio en Leibniz y la evolución de la teoría deductiva, I, 16) era, además, un hombre de principios.³

1. Formulación lógico-formal del principio.

1.1. Definición de cosas idénticas. La formulación más puramente lógico-formal de la idea de que la identidad es la indiscernibilidad se encuentra en un breve texto, probablemente de 1684 (anterior, pues, al Discurso de Metafísica, 1686), que se titula Specimen calculi universalis. La proposición 7 (Gerh., Phil. VII, 219)⁴ dice así: «Eadem sunt quorum unum in alterius locum substitui potest, salva veritate [Son las mismas aquellas cosas una de las cuales se puede substituir en el lugar de otra sin daño de la verdad]». La cláusula «salva veritate», inequívocamente lógica, hace que el modo material de hablar o la confusión de uso y mención de ese texto no pueda confundir. El contexto es calculístico, y el principio de identidad de los indiscernibles es en esta formulación la proposición que justifica una regla de sustitución muy común: (x) (y) ((x = y) ↔ (P) (Px↔Py))

1.2. Con esa formulación es posible recoger otros pasos de Leibniz, casi todos ellos, como es natural, en contextos de lógica. Es muy interesante el que en lugares de esa especie la identidad de los indiscernibles se presenta fundamentada ambiguamente, como necesaria en sentido leibniziano, pero con alguna alusión al reino de la contingencia, esto es, al principio de razón suficiente. Así, por ejemplo, en el mismo opúsculo sobre las verdades primeras, Leibniz, tras afirmar lo que se suele entender como analiticidad de toda verdad, escribe que de eso se sigue que no puede haber dos cosas singulares solo diferentes en cuanto al número, porque es necesario que se pueda dar razón de su diversidad, y esa razón se ha de buscar en su diferencia intrínseca. («Sequitur etiam hinc non dari posse [in natura] duas res singulares solo numero differentes: utique enim oportet rationem reddi posse cur sint diversae, quae ex aliqua in ipsis differentia petenda est [También se sigue de esto que no se puede dar [en la naturaleza] que dos cosas singulares difieran solo en el número: porque ciertamente debe ser posible dar una razón por la que son diferentes, que debe buscarse en alguna diferencia en ellas]»).

2. Pero la versión formal no basta para recoger todo el pensamiento de Leibniz sobre la identidad de los indiscernibles.

2.1. Monadología 9 refiere el principio exclusivamente a las mónadas. Pero fuera de contextos predominantemente lógicos o calculísticos, e incluso ya en ellos, como lo sugiere el paso últimamente comentado, nuestro principio no queda adecuadamente contenido en un molde puramente formal. Su presentación en Monadología 9, por ejemplo destacado, supone bastante más que una regla de sustitución. Supone bastante más porque dice bastante menos: «Il faut même que chaque monade soit différente de chaque autre. Car il n’y a jamais dans la nature deux Etres, qui soient parfaitemente l’un comme l’autre, et où il ne soit possible de trouver une différence interne, ou fondée sur une dénomination intrinsèque [Es incluso necesario que cada mónada sea diferente de la otra. Pues nunca hay en la naturaleza dos seres que sean perfectamente iguales el uno al otro, y en los que no sea posible encontrar una diferencia interna, o basada en una denominación intrínseca]». La indiscernibilidad es identidad solo de mónadas, de sustancias.

2.1.1. Argumentación por el mismo paso. El uso del término Etres no debe confundir. Leibniz usa ahí el término en sentido eminente, significando lo que la tradición, tan presente siempre para él, llama sustancias primeras. Así lo muestra la apelación a la diferencia interna o denominación intrínseca, que no tendría buen sentido referida a un predicado o a un fenómeno (en sentido leibniziano).

2.1.2. Argumentación por la 5ª carta a Clarke. No menos concluyentes son al respecto los varios lugares en que Leibniz admite o, por mejor decir, sostiene y argumenta la posibilidad de fenómenos o predicados no idénticos y, sin embargo, indiscernibles. Por ejemplo, en la quinta carta a Clarke, el año de la muerte del filósofo (1716), al argüir el carácter ficticio del espacio exterior: lo que Leibniz llama «situation», el situs tradicional, es cualidad real, intrínseca, de las sustancias A y B, pero, al no ser discernibles para el limitado conocimiento humano, este, no contentándose con afirmar una simple concordancia, finge un ubi idéntico para A y B, construye la ficción de un espacio exterior, en el «mismo» punto del cual habrán estado sucesivamente A y B. Los idénticos en cuanto indiscernibles son solo las sustancias.

Los estudiosos modernos de Leibniz admiten unánimemente esta circunstancia, ya sea para condenarla por motivos lógicos, como Russell, ya para aplaudirla, como Nicholas Rescher.

2.2. Limitación a la tesis 2. Sin embargo, pese al mencionado acuerdo de los conocedores y pese a los textos de Leibniz que nosotros mismos hemos aducido, no es imposible reconstruir las formulaciones y argumentaciones del filósofo de tal modo que el principio se pueda mantener con toda la generalidad de su versión lógico-formal, pero sin olvidar la metafísica leibniziana. Se podría, en efecto, decir que las denominaciones internas no discernibles para los hombres –por ejemplo, las «situations» que dan pábulo a la ficción de un ubi idéntico– son discernibles para Dios. De todos modos, esta salvación de la generalidad del principio no debe borrar la preeminencia de la doctrina de la substancia en la filosofía de Leibniz, preeminencia que saltará inevitablemente a la vista en otro punto de nuestra reflexión sobre el principio de los indiscernibles. Por eso no será tampoco desdeñable la argumentación de quien se oponga al intento que acabamos de hacer de salvar la generalidad del principio y sostenga que solo por descuido lo ha ampliado Leibniz a entes no substanciales. Pues el caso escogido para nuestra anterior argumentación –«la situation»– es probablemente único, esto es, que tal vez ninguna otra denominación intrínseca –un color, un sentimiento, etc.– sería bastante para sostener nuestra argumentación. Esta vale, por lo tanto, solo como problematización de la tesis, generalmente admitida por los estudiosos de Leibniz, de que el principio de la identidad de los indiscernibles rige solo las substancias.

3. Otro problema más: el de la fundamentación del principio. No menos problemática es la fundamentación por Leibniz del principio de la identidad de los indiscernibles.

3.1. Naturaleza de su fundamentación: si se funda en el principio de identidad o en el de razón suficiente. Las dudas se presentan ya en el momento de estimar el tipo de fundamentación que da Leibniz a su principio: si lo funda en el principio lógico-necesario de identidad, situándolo así en el mundo de las esencias, de los posibles, o lo funda en el de razón suficiente, lo que puede implicar que el principio lo es solo en el mundo de la contingencia. Lo que sí está fuera de duda desde el primer momento es que Leibniz argumenta su principio basándose en otros.

3.1.1. Documentación de que Leibniz usa efectivamente dos grandes principios primeros. Por muchos que sean los principios que un lector atento pueda hallar mencionados en la obra de Leibniz -Ortega registraba diez-, está fuera de duda que en cuestiones de fundamentación nuestro filósofo trabaja con dos, y que tiene claridad sobre ello. En la 5ª carta a Clarke esos principios se llaman el «grand principe des existences, qui est celui du besoin d’une raison suffisante [El gran principio de la existencia, que es el de la necesidad de una razón suficiente]». y el «grand principe de nos raisonnements, qui est celui des essences, c’est à dire, celui de l’identité ou de la contradiction [El gran principio de nuestros razonamientos, que es el de las esencias, es decir, el de la identidad o de la contradicción]». (Gerh. Phil., VII, 391): el principio de identidad y el de razón suficiente.

3.1.2 Fundamentación del principio de la identidad de los indiscernibles en el de razón suficiente. No son pocos los lugares en los que Leibniz fundamenta la identidad de los indiscernibles en el principio de razón suficiente. Así, por ejemplo, en su polémica con Clarke, tras rechazar las imputaciones de necesitarismo y fatalismo mediante una detallada exposición de su principio de razón suficiente, añade que infiere de este «entre autres conséquences, qu’il n’y a point dans la nature deux êtres réels absolus indiscernables; parce que s’il y en avoit, Dieu et la nature agiroient sans raison, en traitant l’un autrement que l’autre [Entre otras consecuencias, que no hay en la naturaleza dos seres reales absolutamente indistinguibles; porque si los hubiera, Dios y la naturaleza actuarían sin razón, tratando a uno de modo distinto del otro]». (Gerh. Phil. VII, 393).

3.1.3. Consiguiente posibilidad de que Leibniz vea el principio como contingente. Ahora bien, a primera vista el principio de razón suficiente es el fundamento de las existencias, esto es, de las contingencias. Bertrand Russell ha llamado la atención sobre un momento de la polémica con Clarke que sugiere vigorosamente que el principio es contingente. Se trata de una puntualización en la que Leibniz dice (Gerh. Phil. VII, 394-395): «Quand je nie qu’il y ait deux gouttes d’eau entièrement semblables ou deux autres corps indiscernables, je ne dis point qu’il soit impossible absolument d’en poser [Cuando niego que existan dos gotas de agua totalmente similares u otros dos cuerpos indistinguibles, no estoy diciendo que sea absolutamente imposible plantear la existencia de tales cuerpos]».

3.1.4. Pero otras veces Leibniz considera necesario el principio. Sin embargo, la evidencia de que Leibniz considera necesario el principio, como lo muestra el que él mismo ofrezca fundamentaciones por «el gran principio de las esencias», a las que luego nos referiremos, hace razonable el intento de descubrir bajo la misma argumentación que parece remitir al principio de las existencias una fundamentación más absoluta. Las soluciones dadas a esta tarea por los estudiosos de Leibniz son de dos tipos: o bien se interpreta como analítica la argumentación de Leibniz antes citada –camino más apologético que convincente–, o bien se recurre a distinguir dos principios de razón suficiente en la filosofía de Leibniz, uno de ellos fundamento del reino de la existencia y, por lo tanto (salvo en el caso de Dios), de la contingencia, y otro imperante ya en el reino de los posibles, de las esencias y la necesidad absoluta. Lo corriente es entonces identificar el primero con el «principe du meilleur», o principio de perfección o de lo óptimo, el cual no afirma solo que todo ente (incluso el posible) tiene su razón suficiente, sino, además, que la razón suficiente de lo creado, esto es, de lo existente y contingente, es la voluntad (divina) de lo óptimo.

3.1.4.1. Documentación de los dos principios de razón suficiente. Leibniz cuenta explícitamente con un principio de lo óptimo, aunque no es tan seguro que lo distinga del de razón suficiente como lo quiere la reconstrucción que acabamos de comentar. Leemos en la quinta carta a Clarke que «ce qui est nécessaire, l’est par son essence, puisque l’opposé implique contradiction; mais le contingent qui existe doit son existence au principe du meilleur, raison suffisante des choses [Lo que es necesario lo es por su esencia, ya que lo contrario implica contradicción; pero lo contingente que existe debe su existencia al principio de lo óptimo, la razón suficiente de las cosas]». (Gerh. Phil. VII, 390). Esas palabras se pueden interpretar en el sentido dicho, y la fundamentación del principio de los indiscernibles en el sistema de principios de Leibniz se podría concebir así: un principio de razón suficiente necesario funda, por un lado, el principio de las esencias, o principio de identidad o no-contradicción, y, por otro lado, un principio contingente de razón suficiente, o principio de las existencias, o principio de lo óptimo, del que luego derivan los demás principios de la contingencia (armonía, plenitud, etc.)

3.1.4.2. El principio de la identidad de los indiscernibles no se puede fundar en el de lo óptimo. Una razón plausible más para admitir esa articulación de los principales principios de la filosofía leibniziana es que el de los indiscernibles no parece fundamentable en el de lo óptimo. Este es, en efecto, del siguiente tenor: «Dieu a choisi celuy (i. e., el mundo) qui est le plus parfait, c’est à dire, celuy qui est en même temps le plus simple en hypothèses et le plus riche en phénomènes [Dios eligió el que es más perfecto, es decir, el que es al mismo tiempo el más simple en cuanto a hipótesis y el más rico en cuanto a fenómenos]». Al menos si la riqueza de fenómenos se entiende también para los hombres, ese principio no da razón del de los indiscernibles, el cual, aunque puede que responda al criterio de simplicidad de hipótesis, sin embargo, tiende a afeitar el mundo de fenómenos con la célebre navaja: phaenomena non sunt, podría decirse, praeter discirnibilitatem multiplicanda.

3.2. Fundamentación en el principio de las esencias. De todos modos, lo que hace más plausible la visión del principio de los indiscernibles como principio también de las esencias es el hecho de que el propio Leibniz presenta una fundamentación analítica del mismo.

3.2.1. Argumentación de Leibniz. En el capítulo VIII del Discurso de Metafísica Leibniz expone su principio de inherencia, su fundamental tesis lógica de que en todas las proposiciones verdaderas, incluso en aquellas cuya verdad es contingente o de hecho, el predicado es inherente al sujeto, «le predicat est dans le sujet», como dice. Es necesario «que le terme du sujet enferme toujours celuy du prédicat [Que el término sujeto siempre encierra el término predicado]», ya sea explícitamente (en la predicación verdadera idéntica), ya sea «virtuellement» («lors qu’une proposition n’est pas identique» [Cuando una proposición no es idéntica]), de suerte que «celuy qui entendroit parfaitement la notion du sujet, jugeroit aussi que le predicat luy appartient [Cualquiera que comprenda perfectamente la noción de sujeto juzgará también que el predicado le pertenece]».

En el capítulo siguiente del Discurso Leibniz afirma sobre esa base lógica el principio de la identidad de los indiscernibles, por cierto que con una referencia teológica que tiene interés: «Il s’en suit de cela» (esto es, de la naturaleza de la predicación verdadera, o «principio de inherencia») «plusieurs paradoxes considérables, comme entre autres qu’il n’est pas vrai que deux substances se ressemblent entièrement et soient différentes solo numero, et que ce que Saint Thomas asseure sur ce point des anges ou intelligences (quod ibi omne individuum sit species infima) est vray de toutes les substances [Varias paradojas considerables, como, entre otras, que no es verdad que dos sustancias se parezcan enteramente y sean diferentes solo numero, y que lo que Santo Tomás afirma sobre este punto acerca de los ángeles o inteligencias (quod ibi omne individuum sit species infima) es verdad en todas las sustancias]». (Gerh. Phil. IV, 433).

3.2.2. La crítica del argumento por Russell. Russell ha mostrado, como es sabido, que los resultados de Leibniz en este punto no se sostienen en el plano metodológico. Su argumentación en la Critical Exposition se puede resumir así: dos sustancias son indiscernibles según Leibniz si no se puede predicar de ellas propiedades diferentes; pero es imposible predicar nada de algo sin discernirlo antes meramente, como individuo numérico.⁵ «Mientras no se les haya asignado predicados», dice Russell, «las dos sustancias siguen siendo indiscernibles; pero no pueden poseer predicados mediante los cuales dejen de ser indiscernibles, a menos que primero se las distinga como numéricamente diferentes. De manera que, partiendo de los principios de la lógica leibniziana, la identidad de los indiscernibles no se puede llegar a fundamentar plenamente.»

3.2.3 Consideración de la crítica de Russell.

3.2.3.1. Razón de Russell. Los autores que rechazan la comprensión de Leibniz por Russell no suelen prestar atención a esa crítica. Tienen sus razones: la acusación de circularidad que construye Russell es irrefutable si se entiende dirigida, como él la entiende, contra una teoría lógica. Como Russell dice con toda razón, es la falta de una teoría de las relaciones (que no sea la simple declaración a lo Aristóteles de que son entes de razón) lo que determina la debilidad de la construcción leibniziana del principio de los indiscernibles. «Fundándose sobre cualquier otra lógica», escribe Russell, «no podría haber ninguna base para negar la existencia de una misma colección de cualidades en diferentes lugares, pues la prueba adversa reposa enteramente en la negación de las relaciones.» Después de lo cual Russell da un espectacular salto mortal metafísico –la exigencia de destruir la noción de substancia– en el que no hay por qué acompañarle. Basta con reconocer que, en efecto, el quid de la cuestión está ahí, en la noción leibniziana de substancia. El principio de la identidad de los indiscernibles arraiga para Leibniz en la lógica de la substancia, por hablar como Russell. Pero para Leibniz –y no para Russell– la lógica de la substancia arraiga a su vez en otra cosa. Solo en este último plano se puede estimar el principio en cuanto parte de la filosofía de Leibniz, no en su mera operatividad formal de regla de substitución. Por lo demás, la especulación leibniziana siempre habrá tenido, al menos, como fruto ese producto secundario lógico.

4. La metafísica del principio de los indiscernibles.

4.1. El carácter intrínseco de las cualidades es una «opinión capital» de Leibniz. La raíz de las argumentaciones absolutas del principio de los indiscernibles por Leibniz –esto es, de las que no apelan al principio de razón suficiente, sino al «de las esencias»– es la tesis de que toda cualidad o «denominatio» de una substancia, incluso las más externas, como una relación, tiene un fundamento intrínseco. A esa tesis llamó Leibniz una de sus «opiniones» dominantes, o maestras, o señoras: «nulla datur denominatio adeo extrinseca ut non habeat intrinsecam pro fundamento, quod ipsum quoque mihi est inter κυρίας δόξας [No se da ninguna cualidad hasta tal punto extrínseca que no tenga una cualidad intrínseca como fundamento, lo cual en sí está también para mí entre las opiniones que tienen autoridad]». (Carta a De Bolder de abril de 1702, Gerh. Phil. II, 240). El carácter intrínseco de toda cualidad es en metafísica lo que en lógica el principio de inherencia del predicado, y explica que no pueda haber dos cosas distintas con las mismas determinaciones, puesto que toda denominación es en última instancia intrínseca.

4.2. La substancia y su noción individual completa. Corresponde a cada substancia, consiguientemente, una «notion individuelle compléte» (puesto que todo lo que tiene que ver con ella le es intrínseco), como dice Leibniz en una carta a Arnauld (Gerh. Phil. II, 37). Pero es importante tener en cuenta algo que a Russell le interesa poco en su lectura de Leibniz, a saber, que la noción individual completa de una substancia, aunque le corresponda exactamente, no es la substancia. Para entender lo que es una substancia según Leibniz hay que conservar una noción tópica en la que siempre insistieron los viejos profesores de historia de la filosofía, y con toda la razón, mientras que algunos excelentes críticos meritoriamente inspirados por el florecimiento de la lógica en el siglo XX la olvidan, a saber, que la filosofía de Leibniz es un dinamicismo. La substancia no es el conglomerado de sus denominaciones, sino la fuerza que las anima; el mismo Leibniz se ha gloriado, como un campeón homérico, de su noción de substancia, «quae tam foecunda est» (escribe en un breve papel de entre 1691 y 1695, De Primae Philosophiae Emendatione et de Notione Substantiae, Gerh. Phil. IV, 469) «ut inde veritates humanae, etiam circa Deum et mentes, et naturam corporum, eaeque partim cognitae, sed parum demonstratae, partim hactenus ignotae, sed maximi per caeteras scientias usus futurae consequantur. Cujus rei ut aliquem gustum dem, dicam interim, notionem virium seu virtutis (quam Germani vocant Krafft, Galli la force) cui ego explicandae peculiarem Dynamices scientiarum destinavi, plurimum lucis afferre ad veram notionem substantiae intelligendam [Que tan fértil es [su noción de sustancia] para que de allí se obtengan verdades humanas, también sobre Dios y las mentes, y la naturaleza de los cuerpos, en parte conocidas pero poco demostradas, en parte desconocidas hasta ahora, pero de la mayor utilidad a través de las otras ciencias en el futuro. Para dar una idea del asunto, diré, mientras tanto, que la idea de fuerza(s) o potencia (que los alemanes llaman Krafft, los franceses la force), a cuya explicación he dedicado la ciencia particular de la Dinámica, aporta mucha luz a la comprensión de la verdadera noción de sustancia]».

4.3. La noción de fuerza substancial es irreducible.

4.3.1. La noción leibniziana de fuerza es primariamente metafísica. Como es sabido, Leibniz ha contribuido con una aportación considerable a la noción de fuerza de la física de la Edad Moderna. Pero la noción leibniziana de fuerza es primariamente una noción metafísica, de la que el mismo filósofo ha escrito que, en el caso humano, es de consciencia inmediata. La vis es irreducible a ninguna otra noción de la ontología de Leibniz.

4.3.2. El origen de la idea leibniziana de substancia es el problema de la predestinación. El origen de la idea leibniziana de substancia es metafísico-teológico, es el problema clásico de la presciencia divina y los futuros contingentes, de la necesidad y la libertad.

4.3.2.1. Documentación de 4.3.2. El contexto de la carta a Arnauld, antes citada, en la que Leibniz habla de la «notion individuelle complete» de la substancia es el problema de la predestinación, concretamente, uno de los muchos intentos de Leibniz de quitarse de encima la acusación de fatalismo. Y ese fondo metafísico-teológico asoma en muchos otros lugares de lectura pertinente para nuestro asunto, como, por ejemplo, en estas líneas del «Extrait de ma lettre à Mgr. le Landgrave Ernest» (de Hessen-Rheinfels) del 1-11 de febrero de 1686 (Gerh. Phil. II, 12) : «Comme la notion individuelle de chaque personne enferme une fois pour toutes ce qui luy arrivera à jamais, on y voit les preuves à priori ou raisons de la verité de chaque evenement, ou pourquoy l’un est arrivé plus tost que l’autre. Mais ces verités quoique asseurées en laissent pas d’estre contingentes, estant fondées sur le libre arbitre de Dieu et des creatures [Como la noción individual de cada persona encierra de una vez para siempre lo que le sucederá, vemos en ella las pruebas a priori o razones de la verdad de cada suceso, o de por qué uno sucedió antes que otro. Pero estas verdades, aunque ciertas, no están exentas de contingencia, pues se fundan en el libre albedrío de Dios y de las criaturas].» Dicho sea solo incidentalmente (puesto que no es cosa de importancia para la cuestión de los indiscernibles), la vis substancial tiene una función importante en el concepto de libertad que resulta del sistema leibniziano.

4.4. Intento de explicación de la incoherencia de fundamentación del principio por Leibniz. Una vez que se ha identificado la raíz metafísica del principio leibniziano de los indiscernibles, resulta posible aventurar una relectura de aquella curiosa puntualización de Leibniz, antes mencionada, según la cual no es «absolutamente imposible suponer» indiscernibles no idénticos. A continuación de esa concesión, que está en la quinta carta a Clarke, Leibniz escribía: «mais (…) c’est une chose contraire à la sagesse divine, et qui, par conséquent, n’existe point. [pero (…) esto es contrario a la sabiduría divina, y en consecuencia, no existe en absoluto.]» Si se admite que la proposición que atribuye «sagesse» a Dios es una verdad necesaria, y que también lo son que la sagesse implica la omnisciencia, y esta la presciencia (admisiones todas razonables en el sistema de Leibniz), y si se sigue de todo ello, con el filósofo, que, por la presciencia divina, toda denominación de la substancia es, en última instancia, intrínseca, entonces el principio de la identidad de los indiscernibles es una verdad necesaria y Leibniz, a pesar de su concesión aparente, no lo está negando.

5. Recapitulación.

Los grandes rasgos de lo que consideramos verdadera doctrina leibniziana del principio de la identidad de los indiscernibles son estos:

1º. El filósofo, que, como él dice, no quiere incurrir en la herejía sociniana⁶, afirma la presciencia divina de los futuros contingentes.

2º. La presciencia divina implica que a cada substancia (primera) corresponde una noción individual completa, que Dios conoce.

3º. La posibilidad de una noción individual completa de la substancia implica que todas las denominaciones de esta -incluso las más exteriores, como el espacio y el tiempo- son, en última instancia, intrínsecas.

4º. El que todas las denominaciones de las substancias sean intrínsecas implica la identidad de los indiscernibles.

Notas edición
¹ La edición original de este volumen es de 1903. Sacristán manejó la reedición facsímil de 1966 (Olms, Hildesheim). (ADC)
² «Y hasta es preciso que cada mónada sea diferente de otra cualquiera. Porque no hay nunca en la naturaleza dos seres que sean perfectamente el uno como el otro, y en los cuales no sea posible hallar una diferencia interna, o fundada en una denominación intrínseca». Sacristán da posteriormente, apartado 2.1., el texto en francés.
³ Sacristán cita aquí La idea de principio en Leibniz y la evolución de la teoría deductiva en la edición en dos volúmenes de Revista de Occidente, Madrid, 1967. Puede verse una cuidada edición ampliada a cargo de Javier Echevarría en CSIC-Fundación Ortega y Gasset-Gregorio Marañón, Madrid, 2020.
⁴ La cita se refiere a la edición de los Philosophische Schriften de Leibniz, editados en 7 volúmenes por C.I. Gerhardt en 1875. Sacristán manejó en esta ocasión la reedición de 1965 (Olms, Hildesheim). (ADC)
⁵ Bertrand Russell, A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz (edición original 1900).
⁶ El socinianismo es una doctrina cristiana, considerada herética por las iglesias mayoritarias, difundida por el pensador y reformador italiano Fausto Socino (que al parecer se inspiró en las ideas ya formuladas por Lelio Socino). Es antitrinitario: considera que en Dios hay una única persona y que Jesús no existía antes de su nacimiento, si bien nació milagrosamente de María por voluntad divina. La misión de Jesús en la tierra fue transmitir la voluntad del Padre tal como le había sido revelada. Tras su crucifixión fue resucitado por Dios y elevado a los cielos, donde adquirió la inmortalidad, y desde donde reina sobre el mundo desde aquel entonces. Quienes crean en él y en el Dios de la revelación cristiana también disfrutarán de una vida inmortal, mientras que los incrédulos y pecadores no irán al infierno (no existe según la doctrina de Socino), sino que sus almas se extinguirán tras la muerte del cuerpo físico. La salvación sociniana consiste en la inmortalidad y es concedida directamente por la gracia divina a los que creen. Rechazan la interpretación literal de la Biblia. La doctrina sociniana, tal como se implantó en la Polonia de finales del siglo XVI y primera mitad del XVII, fue expuesta de manera detallada en el Catecismo Racoviano (1609).

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5. Leibniz y el ideal algorítmico

Anotaciones de la lección 68ª, «Leibniz y el ideal algorítmico», de una carpeta de lógica depositada en BFEEUB.

I. Introducción.

1. Leibniz es la versión ya explícita del ideal algorítmico, pero con una gran diferencia respecto de su formulación contemporánea.

II.

1. Leibniz ha leído a Llull y a Hobbes. De Llull le viene la idea de alfabeto universal.

2. En su desarrollo llega incluso a formular las ideas de deducción y decisión tal como hay día son corrientes.

3. La idea de algoritmo: «una característica de la razón gracias a la cual las verdades racionales son alcanzadas en cierto modo como por un cálculo, igual en la aritmética y en el álgebra que en cualquier otro ámbito sometido a la consecuencia.» (Ph. Sch, Berlín 1875-1890, Vol. VII, p. 32, carta Rödeken de 1705)

4. La idea de lenguaje artificial para conseguir el algoritmo: «Las lenguas naturales, aunque igualmente son útiles para el pensamiento consecuente, están sin embargo sometidas a innumerables ambigüedades y no pueden prestar el servicio del cálculo, a saber, descubrir los errores de razonamiento que resultan de la composición de las palabras, como solecismos y barbarismos. Esta excelencia no es ofrecida hasta ahora más que por los signos de los aritméticos y los algebristas, con los cuales el razonamiento consiste en el uso de los caracteres, y es lo mismo un error del espíritu que un error del cálculo.» (Philosophischen Schriften VII, p. 205)

5. Leibniz ha teorizado incluso la peculiaridad de la algorítmica lógica respecto de la propiamente matemática. «Pero el álgebra y la Mathesis Universalis no deben confundirse… corresponde a la Mathesis todo lo que está sometido a la representación, siempre que sea percibido con precisión; por tanto, no se trata en ella solo de la cantidad sino también de la disposición de las cosas. Si no yerro, pues, tiene la Mathesis Universalis dos partes: el Ars Combinatoria, que trata de la diversidad de las cosas y de sus formas o cualidades, en general, en la medida en que están sometidos al pensamiento riguroso, y de lo igual y lo desigual; y la logística o álgebra, que trata de la cantidad en general.» (Mathesis Schriften, ed. Gerhardt, VIII, p. 205).

El ignorante de Bochenski se asombra de que llame «logística» al álgebra.

6. Por último, está claro que no se trata ya del geometrismo de Llull. Leibniz quiere argumentar «al modo del cálculo algebraico» (Elementa characteristica universalis, Couturat, OC, Paris 1903, p. 43).

III.

1. Pero la noción de algoritmo no está «realizada», en el sentido de que no es transparente a la consciencia de Leibniz. En el estudio [«Sobre el «Calculus Universalis» de Leibniz en los Manuscritos nos. 1–3 de abril de 1679»] que he presentado a esta oposición [a la cátedra de lógica de Valencia celebrada en Madrid en 1962] he mostrado cómo la algorítmica leibniziana se mueve dentro del marco de la silogística.

2. El primer algoritmo completo de Leibniz, es de abril de 1679, publicado por vez primera por Couturat, no es un sistema axiomático, sino un procedimiento decisorio para la lógica de predicados. Con palabras de Leibniz, de lo que se trata es de saber si propositio dada est vera.

3. El procedimiento consiste en asignar a cada término un número natural que es una característica observando la regla de que el término compuesto de otros términos tenga como número característico el producto de los números de los términos que lo componen (en intensión). He aquí el ejemplo de Leibniz…

4. En la versión definitiva (más o menos) este cálculo está algebrizado -no es el meramente aritmético- pero lo esencial es lo visto: que se trata de un procedimiento decisorio para la lógica de predicados coincidente con la de clases.

5. Leibniz tiene éxito por esa limitación. Pero esto es solo explicación técnica.

6. Que no llega a lo hondo. Sobre la base de un finitismo integral, cualquier cálculo es decidible en principio. Leibniz ha hecho aquella limitación porque trabaja inspirado por su finitismo filosófico. Consiguiente insuficiencia de la abstracción. Innecesaria porque, según el Discours, «los hombres tenemos todas las ideas».

7. De aquí la aspiración propiamente lulliana: «El único medio de enderezar nuestros razonamientos consiste en hacerlos tan sencillos como los de las matemáticas, de modo que uno pueda descubrir su error por pura inspección visual, y que cuando haya disputas entre los gentes baste con decir: contemos, sin más memoria, para ver quién tiene razón. Pues por este medio, habiendo reducido un razonamiento de moral, de física, de medicina o de metafísica a esos términos o caracteres, se podrá tan fácilmente añadirle en cualquier momento la prueba numérica, que será imposible equivocarse si no se quiere.» (C.O., p. 176, 1686)

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6. Anotaciones de lectura sobre The Philosophy of Leibniz

Del fichero «Leibniz» (BFEEUB), anotaciones sobre: Nicholas Rescher, The Philosophy of Leibniz. Sacristán cita por la edición inglesa de 1967:

1. Al exponer las objeciones de Leibniz a la noción cartesiana de sustancia física (13), Rescher comenta que esas tres objeciones son «of a fundamentally conceptual character». Es curioso que con todo su naturalismo, etc. Leibniz es más reflejo, más epistemológico que los cartesianos, más parecido a Kant.

2. Lo fundamental en Leibniz es el naturalismo en materia de valores.

3. La exposición por el autor de la idea de analiticidad virtual (con pasos infinitos) da una indicación histórica de mucho interés: «No hay duda de que las opiniones de Leibniz sobre esto, por mucho que deban a su propia obra sobre el cálculo infinitesimal, están influidas por la enseñanza de Nicolás de Cusa (en los caps. I-II de De docta ignorantia) según la cual un razonamiento verdaderamente exacto sobre cuestiones de hecho requeriría un número infinito de pasos de inferencia entre las premisas y la conclusión deseada en última instancia, de modo que el entendimiento humano puede solo aproximarse a la precisión última de la verdad (praecisio veritatis), pero nunca alcanzarla.» (24)

No se trató solo de la física de París del XV. Toda la época quedó paralizada por el descubrimiento de que no se puede ser empíricamente exacto. El análisis infinitesimal se vivió como superación de eso.

4. El autor ve así los principios de Leibniz:

A. Tres fundamentales: I. Principio de razón suficiente, interpretado así: «Toda proposición verdadera es analítica (finita o infinitamente)». II. Principio de identidad (o de contradicción), interpretado así: «Toda proposición físicamente analítica es verdadera, y, precisamente, necesariamente verdadera». III. Principio de perfección (o de lo óptimo), interpretado así: «Toda proposición infinitamente analítica es verdadera, esto es, contingentemente verdadera».

B. Derivados. I. Principio de la identidad de los indiscernibles. Es derivado del principio de razón suficiente. II. Principio de plenitud (sin citas). III. Ley de continuidad. IV. Armonía preestablecida [II, III, IV: Del de Perfección].

Esquema del autor p. 57. El desarrollo ocupa tres capítulos: II-IV, págs 22-57.

6. Leibniz, como Marx, tiene el encanto de la oscuridad de lo que nace, de las promesas que nunca se podrán cumplir porque cuando la inspiración tenga que hacerse método se verá que no da para tanta realización como parecía en la confusión del nacimiento.

7. La «cantidad de esencia» (28), (30).

8. En la cita del Discurso de metafísica, 2, queda claro que el naturalismo de Leibniz es teológico, y, por ello, consistente. (28)

9. Nota sobre el origen del cálculo infinitesimal en Leibniz. (40)

10. Más precursor de Hegel: la unidad de los fenómenos, «la conspiration universelle», el dicho hipocrático sympnóia pánta. (40)

11. La explicación de la base lógica matemática de la doctrina leibniziana de la contingencia me hace pensar que, pese a su concepción crítica, analítica del cálculo y al concepto de límite, Leibniz lo pensaba filosóficamente para lo mismo que un hegeliano: Dios dispone de un cálculo con el que averigua el mejor mundo posible, porque puede maximizar la verdad.

12. pp. 47-50. Formulaciones del principio. El principio es necesario pese a formulaciones dudosas como 1.2 [«No hay en la naturaleza dos seres reales absolutos indistinguibles», Phil. VII, 393)], a la vista de su naturaleza lógica, expresa en 1.3. (Phil. VII, p. 219). La visión lógica es propiamente de lógica superior, o teoría de conjuntos: (P) (x) (y) [(Px↔Py) ↔ (x = y)]

(Rescher no lo da así, sino al revés; pero eso es menos filosófico en mi opinión, y aleja de la metafísica leibniziana).

Sobreestructura metafísica del principio, 48 [Importancia de lo metafísico, 48. Al revés de lo digo]. Derivatividad del principio a partir de razón suficiente. Phil. VII, 371-372, 394-395. p. 49. Aplicabilidad necesaria a sustancia, no a fenómenos. 5.1. Se trata de distinguibilidad, no de distinción. 5.2. Observo que eso inclina a la metafísica, más que a la operatividad. Es lógicamente irrelevante. Apela a Dios (49). La objeción de Russell (49-50). Replica de Rescher (50) que funciona en la medida en que lo decisivo sea la metafísica. Para mostrar dificultad de reconstrucción y utilización por Rescher («→ Principio de perfección»).

Lo de que el principio de identidad de los indiscernibles se aplica necesariamente a todos los sustancias, pero no a los fenómenos (porque trata de la distinguibilidad, no de la distinción de hecho) (Rescher, 49) inclina a ver como fundamental su lado metafísico, más que el lógico, porque la cosa es lógicamente irrelevante, renuncia a la operatividad y recurre a Dios, que distingue todo lo distinguible.

13. Pese a su admiración por él, Marx y Engels han entendido muy mal a Leibniz, pues este no teorizó la metáfora. En Rescher, The Philosophy of Leibniz, 106-107, encuentro citas: «Pues si suponemos que realmente existen los segmentos de la línea que hay que designar mediante 1/2, 1/4… y que todos los miembros de esa secuencia existen en acto, infieres de eso que tiene que existir también un miembro infinitamente pequeño. En mi opinión, por el contrario, el supuesto no implica más que la existencia de cualquier fracción finita de pequeñez y arbitraria» (Carta a Bernouilli, Math, III, p. 536). «Considero dos cantidades infinitesimales como ficciones útiles» (Phil, VI, 629). «Pese a mi cálculo infinitesimal, no admito de ningún modo en ningún número infinito, aunque concedo que la multitud de los casos sobrepasa todo número finito, o, por mejor decir, todo número.» (Phil, VI, 629)

De este texto, del que también procede la cita anterior, dice Rescher que se encuentra «en un ensayo de 1716, que es probablemente su último escrito filosófico conservado» (107, n. 74). Sin embargo, no se puede olvidar la utilización metafísica y vaga por Leibniz del análisis del infinito en teología, ontología, etc.

14. Lo de que el principio de identidad de los indiscernibles se aplica necesariamente a todos las substancias, pero no a los fenómenos (porque trata de la disponibilidad, no de la distinción de hecho) (Rescher, 49), inclina a ver como fundamental su lado metafísico, más que el lógico, porque la cosa es lógicamente irrelevante, renuncia a la operatividad y recurre a Dios, que distingue todo lo distinguible.

15. En Nuevos Ensayos, libro II, cap 28, cap. 10, parece estar la formulación más categórica de la raíz del naturalismo de Leibniz (138).

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7. Consideraciones generales

De este mismo fichero de BFEEUB, algunas consideraciones generales en torno a la obra de Leibniz:

1. Cada vez estoy más seguro de que la motivación más profunda de Leibniz es teológica: el problema de la presciencia y la libertad, de los futuros contingentes. Cfr. las nociones de verdad necesaria y contingente, VII, 250.

2. Carta a De Bolder, abril 1702, G II, 240. Si Rescher lleva razón en su réplica a Russell, la sustancia es inconceptuable.

3. [Principio de perfección] Leibniz. «Dios ha escogido [crear] el mundo que es más perfecto, esto es, que es al mismo tiempo el más simple en sus hipótesis y el más rico en fenómenos.» Leibniz, Discurso de metafísica, 6, 5; Teodicea, 208; Principios de la naturaleza y de la gracia, 1. Relacionar con el principio de los indiscernibles: este principio es simple, pero va contra riqueza.

4. Visto metodológicamente, es un principio operacionalista, muy moderno (Llevó razón Dewey al ver en Leibniz el nacimiento de la modernidad). Si se aplica al principio la tesis leibniziana de la analiticidad, el principio dice que identidad es inherente a indiscernibidad, lo cual es una reducción operacionalista.

5. Carta 5ª a Clarke, 1716, G VII, 390. ¿No se equivoca Russell al decir que Leibniz confunde dos principios de razón suficiente?

6. «La naturaleza de una substancia individual, dice [Leibniz] es tener una noción tan completa que basta para comprender y destruir todos sus predicados. De ahí concluye que ninguna substancia puede ser perfectamente igual a otra». ¿Es posible que Russell derive el principio de los indiscernibles de la noción de substancia? Creo que sí, con base a Leibniz mismo, 469 (60).

7. [Leibniz y Hegel. Entwicklung] «(…) Es posible que no exista un sujeto tal como yo, pero de existir, todos mis estados provienen del hecho de que soy tal como soy, y ello basta para explicar mis cambios, sin suponer que se actúe sobre mí desde el exterior» (pp. 63-64). Es programa epistemológico de Hegel es eso, borrando a Kant y borrando la última prevención empírica leibniziana.

8. Fundamento metafísico o relación con continuidad (Russell, p. 74). Lo presenta bien como metafísica.

9. Crítica lógica de Russell, p. 79. Tan bruto como Althusser.

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